全概率公式及其应用

1绪论1.1问题的提出概率论是统计学在实际生活中应用的理论基础，在实际生活、生产、工作中经常会遇到各种各样有关于概率计算问题的模型或者事件，而往往有些实际事件的解决是十分复杂的，如果只是使用一般的概率计算方法是无法快捷甚至根本无法解决这些问题，而全概率公式是概率论中的一个重要公式，它提供了计算复杂事件概率的一条有效途径，使一个复杂事件的概率计算问题化繁为简，使用全概率公式解决问题可以借助引入各种小前提，将事件分解为两个或是若干个互不相容的简单事件的并集并且在每个小部分中可以比较容易的求得所需要的概率，从而进一步应用加法公式求出复杂事件的概率，所以针对某些复杂事件的处理一般可以使用全概率公式进行简化计算。大家不禁思量，在解决概率问题时，使用全概率公式与使用一般方法相比有何不同？其优势体现在哪？全概率公式主要应用于哪些领域？本文主要探究的即是全概率公式在解决一些实际生活中遇到的问题中的应用以及其优势。1.2使用全概率公式解决问题的意义通过调查和统计我发现全概率公式的应用范畴十分广泛，同时其涉及领域也非常宽广。我们可以看到，在现实的各种领域，比如生活、生产、经济、保险、投资、医疗等领域中，常常会涉及各种类型的概率计算，但是由于这些实际事件都会有着各种各样的限制条件或者其样本空间极为复杂，因此在计算中也会遇到各种复杂问题。全概率公式的存在即有效地解决了一些复杂繁琐类的问题。在遇到使用一般方法进行处理分析十分麻烦乃至容易出错的复杂事件时，如果可以把这个事件分割成为互不相容的两个或者若干个简单事件，那么就可以运用全概率公式将样本空间按照某种方式进行分割，使原本复杂的事件转变为两个或者若干个简单事件，再使用条件概率对每个简单是件进行运算，最后运用加法公式将所有结果进行相加即可以准确便捷的得出结果，这也就是全概率公式的意义所在。灵活使用全概率公式有助于把握随机事件间的相互影响关系，为生产实践提供更有价值的决策信息。1.3研究背景及预期结果目前很多文献与论文都提及到了全概率公式的应用，但是一般都是对全概率公式进行证明、解释或者深度推广，其中很多文章都对全概率公式在某一部分领域的应用做出了阐释，并未能总结出全概率公式在各种领域中的实际问题上的应用。本文就是为了探求全概率公式在各种实际问题上的应用，归纳总结全概率公式的理解方法、求解问题时的分析方法、解决实际应用时的具体步骤以及应用此公式时应该注意的事项等几点研究体会，旨在更加完备的总结出全概率公式在解决各种复杂问题时的作用。2全概率公式的概述2.1全概率公式全概率公式是概率论中的一个重要公式，它主要展示了“化整为零”的数学思想，将复杂的问题分割为两个或者若干个简单问题进行分析处理。性质1（全概率公式）设A1，A2，…,An为样本空间Φ的一个分割，即A1，A2，…,An互不相容,且n1iAi=Φ，如果P(Ai)0，i=1,2，…，n，则对任一事件N有P(N)=n1iP(Ai)P(N│Ai)证明：由分割定义可知N=NΦ=n1i(NAi),且NA1，NA2，…,NAn互不相容。利用可加性可得P(N)=P(n1i(NAi))=n1iP(NAi)=n1iP(Ai)P(N│Ai)3全概率公式的一些应用3.2社会调查中的应用3.2.1（社会敏感性问题调查）近几年，中学生吸烟问题越来越困扰着家长和学校，而吸烟会严重影响其身心健康的发展，但学生吸烟都是避着老师和家长进行的，所以对其不能进行及时有效的遏制。现在要设计一个调查方案，从调查数据中估计出中学生中有着吸烟习惯或者有过吸烟经历的比率p。这类敏感性问题的调查属于社会调查的一类，对敏感性问题的调查方案，关键是要使被调查者主动愿意的作出真实回答并能保守被调查者的个人隐私。如果调查方案设计欠妥，被调查者很有可能就会拒绝配合或者给不真实的回答，所得的数据将会失去真实性。我使用的是目前最广泛的一种调查方案，在这个方案中被调查者通过抽签决定回答一下两个问题中的一个问题。问题1：你的阳历生日是否在7月1日之前？问题2：你是否有着吸烟习惯或者有过吸烟经历？这个调查方案必须在消除被调查者的顾虑，使被调查者确信参加这次调查不会泄露自己隐私的前提下进行，在调查的操作上需要注意以下关键点：（1）被调查者必须保持独自一人回答问题。（2）被调查者从一个袋子中随机抽取一个球（每个球除颜色不同外，其他规格均相同，且袋中只有白球和红球），看过球的颜色后即放回袋中。若摸到白球，则回答问题1；若摸到红球，则回答问题2。在调查过程中，被调查者无论回答问题1还是2，只需要在问卷“是”或者“否”下方打钩即可，然后将问卷放入一个密封的投票箱内。这种调查方法可以使被调查者在独立的环境下随机抽取问题进行回答，有助于消除被调查者的顾虑。在调查实施过程中，首先要设有m张问卷（m较大），其中有n张回答“是”，而我无法确定此m张问卷中有多少张是回答问题2的，同样也就无法确定n张回答“是”的问卷中有多少张是回答问题2的。现在可以确定的两个信息是：（1）在调查参加人数较多的场合中，任选一人生日在7月1日之前的概率为0.5。（2）袋中红球的比率µ是已知的。由全概率公式可得:P(是)=P(白球)P(是│白球)+P(红球)P(是│红球)所以，P(红球)=µ,P(白球)=1-µ，P(是│白球)=0.5，P(是│红球)=p整理得：mn=0.5（1-µ）+p﹒µ从而可得：p=)(.150mn。综上，即可得出中学生有着吸烟习惯或者有过吸烟经历的比率p。3.2.2（全概率公式在保险方面的应用）某保险公司想对其索赔额建立一个模型，以此期望其产品可以获得更好的利润。根据历史的数据，该公司认为具有利好风险的投保人，其索赔额的密度函数为:𝐟𝐱(𝐱)=𝟐𝐞−𝟐𝐱,𝐱0.而认为具有利坏风险的投保人，其索赔额的密度函数为：𝐟𝐱(𝐱)=𝟏𝟑𝐞−𝐱𝟑,x0.其中索赔额以50000元人民币为一个单位，现已知指定的投保人具有利坏风险的可能性是25%，问这个投保人的索赔额超过一个单位的概率是多少？解：根据题意，设X为索赔额，W为风险的指示变量。则有所给信息可知：设有利坏风险时，W=1，其概率为25%；设有利好风险时，W=0，其概率为75%，从而有𝐟𝐗/𝐖=𝟎(𝐱)=𝟐𝐞−𝟐𝐱,𝐱0;𝐟𝐗/𝐖=𝟏(𝐱)=𝟏𝟑𝐞−𝐱𝟑,𝐱0.那么由混合型全概率公式可得随机变量X的密度函数为：𝐟𝐗(𝐱)=𝐟𝐗/𝐖=𝟎(𝐱)𝐏𝐖(𝟎)+𝐟𝐗/𝐖=𝟏(𝐱)𝐏𝐖(𝟏)=𝟐𝐞−𝟐𝐱×𝟎.𝟕𝟓+𝟏𝟑𝐞−𝐱𝟑×𝟎.𝟐𝟓=𝟏.𝟓𝐞−𝟐𝐱+𝟏𝟏𝟐𝐞−𝐱𝟑.而我们要求的是索赔额X1的概率，由密度函数与概率之间的关系可得：𝐏(𝐗1)=∫𝐟𝐱(𝐱)∞𝟏𝐝𝐱=𝟏.𝟓∫𝐞−𝟐𝐱𝐝𝐱+𝟏𝟏𝟐∞𝟏×∫𝐞−𝐱𝟑∞𝟏𝐝𝐱=𝟏.𝟓𝐞−𝟐+𝟏𝟏𝟐𝐞−𝟏𝟑此即索赔额大于一个单位的概率。在保险索赔这个问题中，我们求解的关键是要列出索赔额数在不同风险下的密度函数。在此基础上，我们必须把题设中的信息数据化，设出一个指示变量，从而进一步使问题变得简单化。4总结本文通过列举有关全概率公式的案例详细介绍了全概率公式及其应用，系统深入的分析了全概率公式在解决实际问题上的应用，从中也可以折射出全概率公式应用的广泛性。随着社会经济的飞速发展，我们面临更多的机遇和挑战。在现实生活中，决策者所面对的概率性的问题通常都具有庞大的样本空间以及繁琐的计算过程，如果不能很好的选择一种合理有效的方法去解决问题，那么就会造成运算步骤过多、数据处理量大、漏掉部分数据的处理等问题，而这些问题往往会导致运算结果失真，最终影响决策者的综合判断。本文研讨的全概率公式则给我们带来了一种崭新的思想方法，这便是由整体——部分——整体的思考模式。在这种模式下解决概率问题即是把复杂事件简单化，然后分别解决分解后的简单事件，最后综合得出结果。全概率公式的精髓之处就在于利用分割化繁为简、化难为易，即使有些问题不符合全概率公式的使用条件，我们也可以利用其思想方法进行研究分析，为生产实践提供更有价值的决策信息。