数列专题,后附高考真题(2010-2017)加解析

数列专题，后附高考真题（2010-2017）加解析一.高考地位与考纲全国卷会对数列部分的考查要求有所下降，只需要掌握基本的求和与通项关系，学会简单的裂项相消法和错位相减法求解数列求和即可。纵观全国新课标Ⅰ卷、Ⅱ卷的数列试题，我们却发现，新课标卷的数列题更加注重基础，强调双基，讲究解题的通性通法。尤其在选择、填空更加突出，常常以“找常数”、“找邻居”、“找配对”、“构函数”作为数列问题一大亮点.从2011年至2017年，全国新课标Ⅰ卷理科试题共考查了10道数列题，其中6道都是标准的等差或等比数列，主要考查等差或等比数列的定义、性质、通项、前n项和、某一项的值或某几项的和以及证明等差或等比数列等基础知识。而文科试题共考查了11道数列题，其中7道也都是标准的等差或等比数列，主要考查数列的性质、求通项、求和、求数列有关基本量以及证明等差或等比数列等基础知识。1．从试题命制角度看，重视对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的考查。2．从课程标准角度看，要求学生“探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式，能在具体问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题”。3．从文理试卷角度看，尊重差异，文理有别，体现了《普通高中数学课程标准（实验）》的基本理念之一“不同的学生在数学上得到不同的发展”。以全国新课标Ⅰ卷为例，近五年理科的数列试题难度整体上要比文科的难度大一些。如2012年文科第12题“数列满足，求的前60项和”是一道选择题，但在理科试卷里这道题就命成了一道填空题，对考生的要求自然提高了。具体来看，全国新课标卷的数列试题呈现以下特点：●小题主要考查等差、等比数列的基本概念和性质以及它们的交叉运用，突出了“小、巧、活”的特点，难度多属中等偏易。●大题则以数列为引线，与函数、方程、不等式、几何、导数、向量等知识编织综合性强，内涵丰富的能力型试题，考查综合素质，难度多属中等以上，有时甚至是压轴题，难度较大。（一）全国新课标卷对数列基本知识的考查侧重点1．考查数列的基本运算，主要涉及等差、等比数列的通项公式与前项和公式。设出基本量，根据知三求二，列方程求解。高考题在这方面尤其喜欢考查等差与等比彼此交汇的题目，还有就是与的关系问题（考生容易忽视n=1的情况）也是考查的热点。2．考查数列的基本性质，数列板块中有很多常用的基本性质，“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的客观题计算中非常重要。（二）全国新课标卷对数列基本思想方法的考查侧重点1．分类讨论思想：等比数列的前n项和公比q分类，1q或1q；数列的前n项和11,1asn；1,2nnnssan等等.2．函数思想：数列关于n的函数。)(nfan，)(nfsn3．数形结合等差的通项及前n项和都可以视为关于n的直线和抛物线方程。4．转化思想：非差、比数列转化为差、比数列。5．特殊化思想已知函数)(nfan，)(nfsn，可求某一项。6．类比思想等差、等比数列有相同的特征，有类似的性质。（三）全国新课标卷对数列内容的常考题型1.选择、填空题常考题型有知三求二，借助方程组求解基本量，有时也会用到“整体求解”的技巧；有些客观题如能灵活运用数列的性质求解则可以大大简化运算；此外数表、框图有时也是数列客观题考查的载体。2．解答题通常会涉及数列的求和，主要考查裂项相消法和错位相减法，难度中等。个别解答题有涉及数列不等式的证明，此类题难度较大，综合性较强，不过其难度要小于近年广东卷的数列压轴题。二、高考趋势年份题号题型考查内容思想方法分值2011年理：17解答题等比数列求通项、求前n项和方程组思想12分文：6选择题等差数列的基本公式方程组思想5分文：17解答题等比数列求通项、求前n项和方程组思想10分2012年理：5选择题等比数列的性质方程组思想5分理：16填空题数列的周期性利用周期性求和5分文：12选择题数列的周期性利用周期性求和5分文：14填空题等比数列前n项和方程思想5分2013年理：7选择题等差数列前n项和方程思想5分理：12选择题与三角形的综合应用判断数列的增（减）性特殊、比较5分理：14填空题由an与Sn关系求an比差法5分文：6选择题等比数列通项、前n项和方程思想5分文：17解答题等差数列通项、前n项和方程组、列项相消12分2014年理：17解答题由an与Sn关系判定及证明比差法12分文：17解答题等差数列通项前n项和及一元二次的解法，乘公比错位相消方程组12分2015年理:17解答题由an与Sn关系求通项；前n项和换元法，裂项相消法12分文:7选择题等差数列：基本量求某一项；方程思想5分文:13填空题等比数列：基本量求项数方程思想5分2016理：15填空题等比数列：求很多项相乘积的最大值列方程求解5分文：17解答题等差数列与等比数列综合，求等差数列通向公式与等比数列的前n项和12分2017理：14填空题等差数列：求公差方程思想5分文：17解答题等比数列：求通项公式与前n项和列方程组法12分从统计信息可以看出，近7年高考，每年都对数列问题进行了考查，因此一定要给予足够的重视。三．同步解读数列是按照一定次序排列的一列数，在函数的意义下，数列是定义域为自然数N+的函数)(nf，当自变量n从1从n开始取自然数时，所对应的一列函数值)1(f)2(f)3(f)4(f......)(nf，通常用na代替)(nf，于是数列的一般形式为1a2a3a4a.....na...，简记为{na}，其中是的第n项第一部分：数列概念表示方法问题数列概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列.要点诠释：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第n位的数称为这个数列的第n项.其中数列的第1项也叫作首项.要点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念。数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号.类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质：（1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的；（2）可重复性：数列中的数可以重复；（3）有序性：数列中的数的排列是有次序的.数列的一般形式：数列的一般形式可以写成：,,,,,321naaaa，或简记为{}na.其中na是数列的第n项.要点诠释：{}na与na的含义完全不同，{}na表示一个数列，na表示数列的第n项.1．在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55，…中，x等于（）A．11B．12C．13D．14【答案】C【解析】试题分析：观察所给数列的项，可知该数列从第三项起，后一项是前两项的和，设该数列为na，则该数列的递推关系式为:11(2)nnnaaan，所以5813x，故选C.1．在数列55,34,21,,8,5,3,2,1,1x中，x等于（）A．11B．12C．13D．14【答案】C【解析】记第一个数为a，第二个数为b，此题的数列排列形式为a,b,a+b,b+(a+b),(a+b)+{b+（a+b）}......以此类推则得出x=5+8，即x=13.2．.将正奇数按下表的规律填在5列的数表中，则第20行第3列的数字与第20行第2列数字的和为________.135715131191719212331292725……………【答案】312【解析】试题分析：前19行共有19476个数，所求两数为第78和第79个奇数，因此和为(2781)(2791)312.考点：新定义，数列的项.根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。常数数列：各项相等的数列。摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.数列的通项公式如果数列na的第n项na与n之间的关系可以用一个公式()nafn来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.如数列：0,1,2,3,...的通项公式为1nan（*nN）；1,1,1,1,...的通项公式为1na（*nN）；1111,,,,...234的通项公式为1nan（*nN）；要点诠释：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的。如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11nna，也可以是|21cos|nan.⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.（4）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第n项，又是这个数列中所有各项的一般表示．数列{}na的前n项和数列{}na的前n项和：指数列{}na的前n项逐个相加之和，通常用nS表示，即12...nnSaaa；na与nS的关系当1n时11aS；当2n时，1211211(...)(...)nnnnnnaaaaaaaaSS故1*1,1,2nnnSnaSSnnN且求值2．数列na的前n项和为nS，若11nann，则5_______S【答案】561．已知数列的通项公式为,212nnna其前n项的和64321nS，则项数n＝_____。【答案】6【解析】考点：数列的求和。分析：先将数列的通项变形，再求和，利用已知条件建立方程，即可求得数列的项数n。解答：∵数列{an}的通项公式是,212nnna∴an=1-1/2n，∴Sn=（1-1/2）+（1-1/4）+（1-1/8）+…+（1-1/2n）=n-（1/2+1/4+1/8+…+1/2n）=n-1+1/2n由Sn=321/64=n-1+1/2n∴可得出n=6。点评：本题考查了数列的通项，考查数列的求和，解题时掌握公式是关键，属于基础题。求通向公式2．数列3，5，9，17，33，…的通项公式na等于（）A．n2B．12nC．12nD．12n【答案】B【解析】解：因为数列3，5，9，17，33，…前几项可知，每一项都是满足n21，因此带入答案验证可知，排除A,,C,D选B3．已知数列na的前n项和12nSn，其中3,2,1n，…，那么5a_____________；通项公式na_____________。【答案】9；21210nnn【解析】此题考察数列的通项思路分析：因为12nSn，故5542511619aSS；当1n时，11110aS；当2n时，22111121nnnaSSnnn，综上，通项公式na21210nnn.点评：对于数列na，若nS是前n项和时，则当2n时，1nnnaSS.4．已知数列2009，2010，1，-2009，-2010，…,这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2010项之和2010S等于________________。【答案】0【解析】解：根据题意：2009，2010，1，-2009，-2010，-1每6个数为一周期，一周期内6个数的和为0而2010=6×335则S2010=0×335=05．列三角形数表假设第n行的第二个数为),2(*Nnnan（1）依次写出第六行的所有数字；（2）归纳出nnaa与1的关系式并求出na的通项公式；答案】（1）6，16，25，25，16，6（2）)2(121212nnnan（3）见解析【解析】本试题主要是考查了杨辉三角中系数关系的运用。（1）利用前几行的数字得到第六行的所有6个数字分别是6，16，25，25，16（2）依题意)2(1n