函数的周期性

函数的周期性：对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，T叫做函数的周期.如果T为函数的一个周期，那么T的整数倍nT也是函数的周期；如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期.（3）函数的奇偶性、周期性、对称性这三个性质是相互联系的，根据其中的两个，往往可以求出另外一个.(2)R()()()1()()()()1()...(0)(),2().fxfxTfxfxTfxfxTfxfxTTfxTfx对于定义域为的函数，除外，，等关系，也是周期性的主要特征且是的一个周期(1).周期函数不一定有最小正周期()(,)(,)().yfxAacBbcyfx若函数既关于点对称，又关于点对称，求证：函数为周期函数11122(,)(,)(2,2),(,)(2,2)(,)(,),(2)2(22)(2)2(,),(,)MxyMAacMaxcyAacMMaxcyBbcMxyaxxbxbaxcyycyyBbcMxy解析：设为函数图象上任意一点，点关于点的对称点为因为函数图象关于点对称，则也在函数图象上；点关于点的对称点为则函数图象关于点对称也在函数图象上(22)()(22)()2||yfbaxyfxfbaxfxTba且周期2()()||.yfxxaxbyfxba若函数既关于直线对称，又关于直线对称，那么函数为周期函数，周期为2()2[2,2]()1[6,2]().yfxRxxfxxxfx已知函数为上的偶函数，且关于直线对称，当时，，求时，的解析式()()2||.yfxxaxbyfxba结论：若函数既关于直线对称，又关于直线对称，那么函数为周期函数，周期为4()(,)()||.fxxaAbcfxab若函数既关于直线对称，又关于点对称，则函数为周期函数，周期为()()()(1),(2)(2004).fxgxgxfxfaf已知函数为偶函数，为奇函数，且，求的值.||4)(),()(baxfcbAaxxf为周期函数，周期为那么函数对称，对称，由关于点既关于直线结论：若函数1()1(2)(2)23,(2006);1()(2)()(1)(1)(0)19,(4)93(59).fxfxfffxfxfxfxxRfff（）已知且求已知对一切都成立，且，求23321)2(1)42()6()2006()()4(1)8()(1)(1)(11)(1)(11)2(1)2(1)4(1ffffxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxf）解：（(2)()(1)(1)1,(1)()(2)(1)(1)(2)(1)(2)(3)()(6)()(59)(695)(5)(4)(6)(4)(0)112fxfxfxxxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfffffff对一切实数都成立，用替换得22770713012020052005()(,)()(),()(),[,]()().()()()()[,]fxfxfxfxfxffyfxfx设函数在上满足且在区间上，只有试判断函数的奇偶性；试求方程在闭区间上根的个数，并证明你的结论.22441477141010310703033(-)()()()()()(-)()()()()()()()(),(),(),()()fxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxTffffff解：(1)由函数的周期为又而故函数是非奇非偶函数.210310790010100020054022005040020052005802()()()(),(-)(-)()[,][,]()[][-]()[-]fxfffffxyfxyfx函数的周期为，且故在和上均有两个解，从而可知函数在，上有个解，在，上有个解，所以函数在，上共有个解.f(x)满足f(x)=-f(6-x)，f(x)=f(2-x)，若f(a)=-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调.求a的值.