函数的图象及变换

高考第一轮复习考点16函数的图象及变换单调性定义域解析式性质奇偶性周期性一、知识要点x轴y轴原点y=xy=－xx=a直线x=a直线x=a解析：方法一：设(x1，y1)是y＝f(x－a)图像上任意一点，则y1＝f(x1－a)，而f(x1－a)＝f[a－(2a－x1)]，说明点(2a－x1，y1)－定是函数y＝f(a－x)上的一点，而点(x1，y1)与点(2a－x1，y1)关于直线x＝a对称，所以y＝f(x－a)的图像与y＝f(a－x)的图像关于直线x＝a对称，所以选D.方法二：函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图像关于y轴对称，y＝f(a－x)＝f[－(x－a)]．把y＝f(x)与y＝f(－x)的图像同时都向右平移a个单位长度，就得到y＝f(x－a)与y＝f(a－x)的图像，对称轴y轴向右平移a个单位长度得直线x＝a，故选D.对应学生书P321．函数f(x)＝ln|x－1|的图像大致是()解析：函数f(x)＝ln|x－1|的图像是由函数g(x)＝ln|x|向右平移1个单位得到的，故选B.答案：B2．为了得到函数y＝3×13x的图像，可以把函数y＝13x的图像()A．向左平移3个单位长度B．向右平移3个单位长度C．向左平移1个单位长度D．向右平移1个单位长度解析：∵y＝3×13x＝13x－1，∴y＝3×13x的图像可以把函数y＝13x的图像向右平移1个单位长度．答案：D3．函数y＝5x与函数y＝－15x的图像关于()A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称D．直线y＝x对称解析：因为y＝－15x＝－5－x，所以关于原点对称．答案：C4．使log2(－x)＜x＋1成立的x的取值范围是()A．(－1,0)B．[－1,0)C．(－2,0)D．[－2,0)解析：作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图像知满足条件的x∈(－1,0)．答案：A5．指数函数y＝bax的图像如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx的顶点的横坐标的取值范围是__________．解析：由图可知函数y＝bax是减函数，所以0＜ba＜1.而二次函数y＝ax2＋bx的顶点的横坐标为－b2a＝－12·ba.所以－12＜－b2a＜0，即二次函数y＝ax2＋bx的顶点的横坐标的取值范围为(－12，0)．答案：(－12，0)对应学生书P33易错点一对“平移”概念理解不深导致失误【自我诊断①】把函数y＝log2(－2x＋3)的图像向左平移1个单位长度得到函数__________的图像．解析：由题意，得所求函数解析式为y＝log2[－2(x＋1)＋3]＝log2(－2x＋1)．答案：y＝log2(－2x＋1)易错点二判断图像的对称性失误【自我诊断②】设函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像关于()A．直线y＝0对称B．直线x＝0对称C．直线y＝1对称D．直线x＝1对称解析：方法一：设(x1，y1)是y＝f(x－1)图像上任意一点，则y1＝f(x1－1)，而f(x1－1)＝f[1－(2－x1)]，说明点(2－x1，y1)－定是函数y＝f(1－x)上的一点，而点(x1，y1)与点(2－x1，y1)关于直线x＝1对称，所以y＝f(x－1)的图像与y＝f(1－x)的图像关于直线x＝1对称，所以选D.方法二：函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图像关于y轴对称，y＝f(1－x)＝f[－(x－1)]．把y＝f(x)与y＝f(－x)的图像同时都向右平移1个单位长度，就得到y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像，对称轴y轴向右平移1个单位长度得直线x＝1，故选D.方法三：(特殊值法)设f(x)＝x2，则f(x－1)＝(x－1)2，f(1－x)＝(x－1)2，由图可知(两图像重合)，函数f(x－1)和f(1－x)的图像关于直线x＝1对称，只有D正确．答案：D题型二函数图像的识别【例2】函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图像分别如图①、②所示．则函数y＝f(x)·g(x)的图像可能是()解析：从f(x)、g(x)图像可知它们分别为偶函数、奇函数，故f(x)·g(x)是奇函数，排除B.由g(x)图像不过(0,0)得f(x)·g(x)图像也不过(0,0)，排除C、D.答案：A规律方法：注意从f(x)，g(x)的奇偶性、单调性等方面寻找f(x)·g(x)的图像特征．【预测2】(1)已知函数y＝f(x)的图像如图①所示，y＝g(x)的图像如图②所示，则函数y＝f(x)·g(x)的图像可能是下图中的()(2)将f(x)改为奇函数，g(x)也是奇函数，例如，f(x)、g(x)图像分别如图③、④所示，则f(x)·g(x)的图像为()解析：(1)f(x)，g(x)均为偶函数，则f(x)·g(x)为偶函数，可排除A、D.注意x＜0时图像变化趋势是“负—正—负”，故只能选C.(2)f(x)·g(x)为偶函数，可排除A、C、D，选B.答案：(1)C(2)B题型三函数图像的变换【例3】(1)指出下列各组函数的图像关系．①y＝2x与y＝12－x＋1＋3；②y＝log2x与y＝－log2(x＋2)；(2)将曲线y＝lgx向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到曲线C.如果曲线C1与C关于原点对称，曲线C2与C1关于直线y＝x对称，求曲线C2所对应的函数式；(3)将曲线y＝ex做怎样的变换可以得到曲线y＝e3x＋5＋2?(2)由题意，有C：y＝lg(x＋1)－2.因为C1与C关于原点对称，所以C1：y＝－lg(－x＋1)＋2.因为C2与C1关于直线y＝x对称(即两函数互为反函数)，故C2：y＝1－102－x(x∈R)．解析：(1)①因为y＝12－x＋1＋3＝2x－1＋3，所以将曲线y＝2x向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，就得到曲线y＝12－x＋1＋3.②将曲线y＝log2x向左平移2个单位长度，再将它沿x轴翻折，就得到曲线y＝－log2(x＋2)．(或先翻折再左移)规律方法：(1)化为同底数；(2)翻折、平移；(3)平移、对称、反函数；(4)平移、伸缩．(3)方法一：将y＝ex各点向左平移5个单位长度，得y＝ex＋5，再将各点横坐标压缩为原来的13，得y＝e3x＋5，然后向上平移2个单位长度得y＝e3x＋5＋2.方法二：将y＝ex各点横坐标压缩为原来的13得y＝e3x，向左平移53个单位长度得y＝e3x＋5，向上平移2个单位长度得y＝e3x＋5＋2.题型四函数图像的应用【例4】当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，求a的取值范围．解析：设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图像在f2(x)＝logax的下方即可．当0＜a＜1时，由图像知显然不成立．当a＞1时，如图，要使在(1,2)上，f1(x)＝(x－1)2的图像在f2(x)＝logax的下方，只需f1(2)≤f2(2)．即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，∴1＜a≤2.规律方法：从常见函数的图像入手，巧妙地运用图像与不等式(方程)之间的关系，将不等式(方程)转化为求函数图像的交点问题，数形结合是解决此类题的有效方法．【预测4】已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求m的取值范围，使得方程f(x)＝mx有四个不等实根．f(x)的图像如图所示．函数f(x)的单调区间有(－∞，1]、[1,2]、[2,3]、[3，＋∞)，其中增区间有[1,2]、[3，＋∞)，减区间有(－∞，1]、[2,3]．(2)方程f(x)＝mx有四个不相等的实根，就是直线y＝mx与函数y＝f(x)的图像有四个不同的交点．设直线l与f(x)的图像有三个公共点，令它的斜率为k，则0＜m＜k，则方程组y＝kx，y＝－x2＋4x－3⇒x2＋(k－4)x＋3＝0.①令Δ＝(k－4)2－12＝0，得k＝4±23.当k＝4＋23时，方程①的两根x1＝x2＝－3∉(1,3)，不符合题意；当k＝4－23时，方程①的两根x1＝x2＝3∈(1,3)，符合题意．故m的取值范围是(0,4－23)．