1函数的奇偶性一、关于函数的奇偶性的定义一般地,如果对于函数)(xf的定义域内任意一个x,都有)()(xfxf,那么函数)(xf就称偶函数;一般地,如果对于函数)(xf的定义域内任意一个x,都有)()(xfxf,那么函数)(xf就称奇函数;二、函数的奇偶性的几个性质1、对称性:奇(偶)函数的定义域关于原点对称;2、整体性:奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个x都必须成立;3、可逆性:)()(xfxf)(xf是偶函数;)()(xfxf)(xf奇函数;4、等价性:)()(xfxf0)()(xfxf(||)()fxfx1xfxf;)()(xfxf0)()(xfxf1xfxf;5、奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称;6、可分性:根据函数奇偶性可将函数分类为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。7、设,的定义域分别是,那么在它们的公共定义域上:奇±奇=奇(函数)偶±偶=偶(函数)奇×奇=偶(函数)偶×偶=偶(函数)奇×偶=奇(函数)8、多项式函数110()nnnnPxaxaxa的奇偶性多项式函数()Px是奇函数()Px的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数()Px是偶函数()Px的奇次项(即偶数项)的系数全为零.9、复合函数)(xgfy的奇偶性若函数)(),(),(xgfxgxf的定义域都是关于原点对称的,那么由)(),(ufyxgu的奇偶性得到)(xgfy的奇偶性的规律是:函数奇偶性)(xgu奇函数奇函数偶函数偶函数)(ufy奇函数偶函数奇函数偶函数)(xgfy奇函数偶函数偶函数偶函数即当且仅当)(xgu和)(ufy都是奇函数时,复合函数)(xgfy是奇函数.三、函数的奇偶性的判断2函数奇偶性的因素有两个:定义域的对称性和数量关系。判断函数奇偶性就是判断函数是否为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数四种情况。判断函数奇偶性的方法:利用奇、偶函数的定义,主要考查()fx是否与()fx、)(xf相等,判断步骤如下:1、定义域是否关于原点对称;若定义域不对称,则为非奇非偶函数;若定义域对称,则有成为奇(偶)函数的可能2、数量关系)()(xfxf哪个成立;判断分段函数的奇偶性判断分段函数的奇偶性时,通常利用定义法判断,在函数定义域中,对自变量X的不同取值范围,有着不同的对应关系,这样的函数叫做分段函数,分段函数不是几个函数,而是一个函数,因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称,然后判断与的关系,首先要特别注意X与—X的范围,然后将它们代入相应段的函数表达式中,与对应不同的表达式,而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较。四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定命题1:函数的定义域关于原点对称,是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称,那么函数一定是非奇非偶函数,这一点可以由奇偶性定义直接得出。命题2:两个奇函数的和或差仍是奇函数;两个偶函数的和或差仍是偶函数。此命题错误。一方面,如果这两个函数的定义域的交集是空集,那么它们的和或差没有定义;另一方面,两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数,如()((1,1))fxxx,()((2,2))gxxx,可以看出函数()fx与()gx都是定义域上的函数,它们的差只在区间(1,1)上有定义且()()0fxgx,而在此区间上函数()()fxgx既是奇函数又是偶函数。命题3:()fx是任意函数,那么|()|fx与(||)fx都是偶函数。此命题错误。一方面,对于函数(),(()0),|()|(),(()0),fxfxfxfxfx不能保证fxfx或fxfx;另一方面,对于一个任意函数()fx而言,不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称,那么函数(||)fx是偶函数。命题4:如果函数()fx满足:fxfx,那么函数()fx是奇函数或偶函数。此命题错误。如函数2,(2,),(),(21,),xxnnNfxxxnnN从图像上看,()fx的图像既不关于原点对称,也不关于y轴对称,故此函数非奇非偶。命题5:设f(x)是定义域关于原点对称的一个函数,则F1(x)=f(x)+f(-x)为偶函数,F2(x)=f(x)-f(-x)为奇函数.此命题正确。由函数奇偶性易证。3命题6:已知函数()fx是奇函数,且(0)f有定义,则00f。此命题正确。由奇函数的定义易证。命题7:已知()fx是奇函数或偶函数,方程()0fx有实根,那么方程()0fx的所有实根之和为零;若()fx是定义在实数集上的奇函数,则方程()0fx有奇数个实根。此命题正确。方程()0fx的实数根即为函数()fx与x轴的交点的横坐标,由奇偶性的定义可知:若0()0fx,则0()0fx。对于定义在实数集上的奇函数来说,必有00f。故原命题成立。五、关于函数按奇偶性的分类全体实函数可按奇偶性分为四类:①奇偶数、②偶函数、③既是奇函数也是偶函数、④非奇非偶函数。六、关于奇偶函数的图像特征一般地:奇函数的图像关于原点对称,反过来,如果一个函数的图像关于原点对称,那么这个函数是奇函数;偶函数的图像关于y轴对称,反过来,如果一个函数的图像关于y轴对称,那么这个函数是偶函数。图象法:如二次函数2yaxbxc成为偶函数,必须要使对称轴02bxa,即0b;若二次函数2yaxbxc成为奇函数,必须要使0ac;当0b时,二次函数是非奇非偶函数。奇函数对称区间上的单调性相同,偶函数对称区间上的单调性相反。七、关于函数奇偶性的简单应用函数的奇偶性是函数的重要性质之一,也是每年高考的重点和热点内容之一,利用函数的奇偶性可求函数值、比较大小,求函数的解析式,讨论函数的单调性,求参数的值等。现分别举例说明如下:1、利用奇偶性求函数值【例1】已知8)(35bxaxxxf且10)2(f,那么)2(f。【例2】设f(x)是定义在R上的偶函数,若当x≥0时,f(x)=log3(1+x),则f(-2)=_____。【例3】)(xf是定义在R上的奇函数,则)0(f=___;若有3)2(f,则)2(f___;若7)5(f;则)5(f___;【例4】已知函数121)(xaxf)(Rx,若)(xf为奇函数,则a___;2、利用奇偶性比较大小【例5】已知偶函数)(xf在0,上为减函数,比较)5(f,)1(f,)3(f的大小。【例6】若)(xf是R上的偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,则下列各式成立的是:()4)1()0()2(.fffA)0()1()2(.fffB)2()0()1(.fffC)0()2()1(.fffD【例7】如果奇函数)(xf在区间[3,7]上是增函数且最大值为5,那么)(xf在区间3,7上是()A.增函数且最小值是5B.增函数且最大值是5C.减函数且最大值是5D.减函数且最小值是5【例8】,为偶函数,试比较的大小关系。【例9】为偶函数,,若,求取值范围。3、利用奇偶性求解析式【例10】已知)(xf为偶函数,当01x时,()1fxx,当10x时,求)(xf的解析式。【例11】若)(xf是定义在(-∞,0)(0,+∞)上的奇函数,当x0时,)1()(xxxf,求当0x时,函数)(xf的解析式。【例12】设)(xf是定义在R上的奇函数,且当132)(02xxxfx时,,试求函数)(xf的解析式。4、利用奇偶性讨论函数的单调性【例15】若3)3()2()(2xkxkxf是偶函数,讨论函数)(xf的单调区间。5、利用奇偶性求参数的值【例16】定义在R上的偶函数)(xf在)0,(是单调递减,若)123()12(22aafaaf,则a的取值范围是如何?【例17】设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)f(m),求实数m的取值范围.56、利用奇偶性证明不等式【例18】求证)0(221xxxx7、函数奇偶性的判定问题【例19】判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=|x+1|-|x-1|;(2)f(x)=(x-1)·xx11;(3)f(x)=2|2|12xx;(4)f(x)=).0()1(),0()1(xxxxxx(5)xxxf2)21()(2【例20】判断下列函数的奇偶性2211(0)2()11(0)2xxgxxx【例21】判断函数f(x)=x3-3x2+x>x3+3x2-x<的奇偶性.【名师点拨】分段函数的奇偶性应分段证明f(-x)与f(x)的关系,只有当对称的两段上都满足相同的关系时,才能判断其奇偶性.也可根据图象判定.8、奇偶函数的图象问题【例22】下面四个结论中,正确命题的个数是①偶函数的图象一定与y轴相交②奇函数的图象一定通过原点③偶函数的图象关于y轴对称④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)()A.1B.2C.3D.4【提高练习】1.已知定义域为R的偶函数)(xf在),0(上为减函数,且有0)2(f,则满足0)(xf的x的集合为_________;2.已知函数)(xfy为R上的奇函数,若1)2()3(ff,则)3()2(ff____;63.已知偶函数)(xf在区间]4,2[上为减函数且有最大值为5,则)(xf在区间]2,4[上为____函数且有最___值为____;若是奇函数)(xf在区间]4,2[上为增函数且有最小值为5,则)(xf在区间]2,4[上为____函数且有最___值为____。4.若函数22()log(2)afxxxa是奇函数,则a5.已知函数)127()2()1()(22mmxmxmxf为偶函数,则m的值是()A.1B.2C.3D.46.若偶函数)(xf在1,上是增函数,则下列关系式中成立的是()A.)2()1()23(fffB.)2()23()1(fffC.)23()1()2(fffD.)1()23()2(fff7.函数()yfx是R上的偶函数,且在(,0]上是增函数,若()(2)faf,则实数a的取值范围是()A.2aB.2aC.22aD.2a或2a8.已知)1lg()1lg()(xxxf(1)判断函数的奇偶性;(2)判断)(xf的单调性并证明。9.若f(x)=1222xxaa为奇函数,求实数a的值.