函数的奇偶性、周期性--2013届高考文科数学第一轮考点总复习

1第二章函数22.5函数的奇偶性、周期性第二课时题型4函数周期性的定义1.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0，则f(x)的周期是()A.1B.2C.4D.63解：由已知，f(x+2)=-f(x)，所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，显然，f(x)的周期为4，选C.点评：由本题可知，若定义域为R的函数f(x)满足：f(x+a)=-f(x)(a0)，则f(x)是周期为2a的周期函数.相应地还有：若f(x+a)=或f(x+a)=-，则f(x)是周期为2a的周期函数.f(x)1f(x)14已知定义在R上的奇函数f(x)满足：对任意实数x都有f(x+2)+f(x)=0，且当x∈［0，1］时，f(x)=3x，则f()的值为()A.1B.-1C.D.–解：由已知f(x+2)=-f(x)f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数.又f(x)为奇函数，所以f()=f(-16)=f(-)=-f()=-1，故选B.拓展练习拓展练习3473473473131313152.定义在R上的函数f(x)满足：f(x)=f(4-x)且f(2-x)+f(x-2)=0.(1)证明:这个函数既是奇函数,又是周期函数；(2)若f(-3)=1，求f(2011)的值.解：(1)证明：因为f(2-x)+f(x-2)=0，令t=x-2代入,有f(-t)+f(t)=0，所以f(x)为奇函数.所以f(4-x)=-f(x-4)，即有f(x)=-f(x-4)，所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x)，故f(x)是周期为8的周期函数.(2)f(2011)=f(251×8+3)=f(3)=-f(-3)=-1.题型5抽象函数奇偶性、周期性的判定与证明6点评：处理抽象函数的奇偶性和周期性的关键是对其抽象性质进行变形、配凑，如本题中观察到2-x与x-2是互为相反数，则可判断其奇偶性，然后利用奇偶性将f(4-x)变换为-f(x-4).7已知f(x)是定义在R上的奇函数，且函数y=f(x)的图象关于直线x=a(a≠0，为常数)对称，证明：f(x)是周期函数.证明：由已知f(-x)=-f(x)，且f(a+x)=f(a-x)，所以f(2a+x)=f［a+(a+x)］=f［a-(a+x)］=f(-x)=-f(x)，所以f(4a+x)=-f(2a+x)=f(x)，所以f(x)是周期函数，且周期为4a.拓展练习83.若y=f(2x)的图象关于直线和(ba)对称，则f(x)的一个周期为()A.B.2(b-a)C.D.4(b-a)解：因为y=f(2x)关于直线对称，所以f(a+2x)=f(a-2x)，所以f(2a-2x)=f[a+(a-2x)]=f[a-(a-2x)]=f(2x).题型6函数的对称与周期2ax2bx2bax2abx2ax同理，f(b+2x)=f(b-2x)，所以f(2b-2x)=f(2x).所以f(2b-2a+2x)=f[2b-(2a-2x)]=f(2a-2x)=f(2x).所以f(2x)的一个周期为2b-2a，故知f(x)的一个周期为4(b-a).故选D.9点评：本题考查函数的对称性以及周期性，类比三角函数中的周期变换和对称性的解题规则处理即可.①若函数y=f(x)的图象关于直线x=a和x=b对称(a≠b)，则这个函数是周期函数，其周期为2(b-a)；②若函数y=f(x)的图象关于直线x=a和点(b,0)对称(a≠b)，则这个函数是周期函数，其周期为4(b-a);③若函数y=f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称(a≠b)，则这个函数是周期函数，其周期为2(b-a).10拓展练习拓展练习1112已知定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意实数x都有f(x+2)=f(x)成立，且当x∈［2，3］时，f(x)=x，则当x∈［-1，0］时，f(x)的解析式为()A.x+4B.x-2C.3-|x+1|D.2+|x+1|解：当x∈［-1，0］时，2-x∈［2，3］.由已知f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x=3-|x+1|，故选C.参考题参考题131.证明抽象函数的周期性，关键是找出其周期，一般通过尝试变形或类比三角函数获得.2.求周期函数在某个区间内的解析式，先要在该区间内选取自变量，再通过周期调节到已知区间，从而将它转化为已知区间内的函数解析式.3.求周期函数的函数值，要通过周期的调节，将它转化为已知区间内的函数值来解决.144.函数的周期性常与函数的奇偶性结合在一起，解题中要充分利用f(-x)与f(x)的关系帮助变形.5.函数的周期性有时是一个隐含条件，根据解题的需要，可先推断函数的周期性，再解决相应问题.6.研究周期函数的单调性、值域等性质，只需考虑一个周期就能得出，同时要注意利用数形结合的思想分析问题和解决问题.