函数的对称性专题练习试卷及解析

理科教学贴心服务专家和21516yx所围成的封闭曲线如图所示，给定点(0,)Aa，若在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点A对称，则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(2,4)C.3(,3)2D.5(,4)22.2012年天津市河北区高三第一次模拟数学理科试题第8题下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：如图1，在区间(0,1)中数轴上的点M对应实数m；如图2，将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合；如图3，将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为(0,1)，射线AM与x轴交于点(,0)Nn．则n就是m的象，记作()fmn．下列说法：理科教学贴心服务专家①()fx的定义域为(0,1)，值域为R；②()fx是奇函数；③()fx在定义域上是单调函数；④11()42f；⑤()fx的图象关于点1(,0)2对称．其中正确命题的序号是（）A.②③⑤B.①③⑤C.①③④D.③④⑤3.2015年皖北协作区高三年级联考数学文科试卷第9题定义在R上的函数()fx的图像关于直线32x对称，且对任意实数x都有3()(),(1)1,(0)22fxfxff，则(2013)(2014)(2015)fff（）A.0B.2理科教学贴心服务专家()()xxxfxxR，下列命题：①函数()fx既有最大值又有最小值；②函数()fx的图象是轴对称图形；③函数()fx在区间[,]上共有7个零点；④函数()fx在区间(0,1)上单调递增．其中真命题是______．（填写出所有真命题的序号）5.2013年湖北省武汉二中高二下学期期中考试理科数学试题第15题已知定义在R上的函数满足：222,[0,1)()2,[1,0)xxfxxx，且(2)()fxfx，25()2xgxx，则方程()()fxgx在区间[8,3]上的所有实根之和为________．6.2012年广东省肇庆市封开县南丰中学高三复习测试D数学试题第15题已知函数5sin2fxx，若对任意xR，都有()()fxfx，则4fa_____7.2015年广东省江门市普通高中高三调研测试理科数学试题第21题理科教学贴心服务专家()1fxxax（aR是常数）．(1)设3a，1xx、2xx是函数()yfx的极值点，试证明曲线()yfx关于点1212(,())22xxxxMf对称；(2)是否存在常数a，使得[1,5]x，|()|33fx恒成立？若存在，求常数的值或取值范围；若不存在，请说明理由．（注：，对于曲线()yfx上任意一点P，若点P关于M的对称点为Q，则Q在曲线()yfx上．）8.2014年高中数学全国各省市理科导数精选22道大题练习题第19题已知函数(),xfxexR的图象与()gx的图象关于直线yx对称.(1)若直线1ykx与()gx的图像相切,求实数k的值；(2)判断曲线()yfx与曲线2112yxx公共点的个数.(3)设ab，比较()()2fafb与()()fbfaba的大小，并说明理由.9.2013年上海市虹口区高考一模数学试卷第23题如果函数()yfx的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得()()fxafx成立，则称此函数具有“()Pa性质”．(1)判断函数sinyx是否具有“()Pa性质”，若具有“()Pa性质”求出所有的值；若不具有“()Pa性质”，请说明理由．(2)已知()yfx具有“(0)P性质”，且当0x时2()()fxxm，求()yfx在[0,;1]amp上的最大值．理科教学贴心服务专家(3)设函数()ygx具有“(1)P性质”，且当1122x时，()gxx．若()ygx与ymx交点个数为2013个，求m的值．答案和解析1.2015年北京市西城区高三第一次模拟考试数学理科试题第8题答案：D分析：转化为方程有解问题求解，由选项可知实数a的最大取值范围是(1,4)，则必有一对关于y轴对称的点满足；联立214yx和21516yx，解得4x或4，则另外一对是抛物线214yx，(4,0)x上的一点和21516yx，(0,4)x，再将这两点关于y轴对称，共3对，设20001(,),(4,0)4Pxxx，则点P关于点A的对称点2001(,2)4Qxax在21516yx，(0,4)x上，所以22200011325,25(5,8)41616axxax，则5(,4)2a，故选D.2.2012年天津市河北区高三第一次模拟数学理科试题第8题答案：B分析：3.2015年皖北协作区高三年级联考数学文科试卷第9题答案：A分析：由3()()2fxfx得3()()2fxfx，理科教学贴心服务专家(3)()()2fxfxfx，即函数的周期是3，则(2013)(2014)(2015)(6713)(67131)(67132)ffffff(0)(1)(2)fff，因为函数的图象关于直线32x对称，所以33()()22fxfx，则3131()()2222ff，则(2)(1)ff，因为(2)(23)(1)1fff，所以(0)(1)(2)(0)2(2)220fffff，故(2013)(2014)(2015)0fff，故选A．4.2015年北京市朝阳区高三第一学期期末统一考试数学理科试题第14题答案：①②③分析：设11()sin,()gxxhx，则()[1,1]gx且()gx为周期函数，1()(0,]2hx，当且仅当12x时，()hx取得最大值12，且当x或x时，()0hx，理科教学贴心服务专家则在平面直角坐标系内作出()()()fxgxhx的图像如图所示，由图易得()fx既有最大值又有最小值，①正确；111(1)11sinsin(1)sinsin()(1)0xxxxfxfx，所以()fx是以12x为对称轴的周对称图形，②正确；由①得11()xxhx不存在零点，则()singxx的零点即为()fx的零点，因为()singxx在[,]内有7个零点，所以()fx在[,]内有7个零点，③正确；由图象易得()fx在(0,1)上不单调，④错误，综上所述，真命题的序号为①②③．5.2013年湖北省武汉二中高二下学期期中考试理科数学试题第15题答案：11分析：由(2)()fxfx可知函数()fx周期为2，作出两函数图象如下，观察图像可知两函数有5个交点，其中一个为3，另外4个关于点(2,2)对称，所以所有交点横坐标之和为222(3)11．理科教学贴心服务专家题答案：0分析：7.2015年广东省江门市普通高中高三调研测试理科数学试题第21题答案：见解析分析：(1)32()31fxxx，2()36fxxx解()0fx得10x，22x，1212(,())22xxxxMf即(1,3)M曲线()yfx上任意一点32000(,31)Pxxx关于M对称的点为32000(2,35)Qxxx直接计算知，323200000(2)(2)3(2)135fxxxxx，点Q在曲线()yfx上，所以，曲线()yfx关于点M对称(2)|()|33fx即32|1|33xax，3233133xax理科教学贴心服务专家时，不等式恒成立；0x时，不等式等价于33223234xxaxx作31223232()xgxxxx，32223434()xgxxxx，1364()1gxx，2368()1gxx，解1()0gx、2()0gx得14x、3268x1(1)31g，1(4)6g，31232()xgxx在[1,0)(0,5]的最大值为6；2(1)35g，291(5)25g，32234()xgxx在[1,0)(0,5]的最小值为9125综上所述，a的取值范围为91[6,]258.2014年高中数学全国各省市理科导数精选22道大题练习题第19题答案：见解析分析：(1)由题意知()lngxx，设直线1ykx与()lngxx相切与点00(,)Pxy，则00220001ln,1()kxxxekekgxx.∴2ke(2)证明曲线()yfx与曲线2112yxx有唯一公共点，过程如下.令2211()()11,22xhxfxxxexxxR，则()1,()xhxexhx的导数()1xhxe且(0)0,(0)0,(0)0hhh当0x时，()0()hxyhx单调递减，理科教学贴心服务专家时，()0()hxyhx单调递增.()(0)0yhxh，所以()yhx在R上单调递增，最多有一个零点0x∴曲线()yfx与曲线2112yxx只有唯一公共点(0,1).(3)解法一：∵()()()()(2)()(2)()22()fafbfbfabafabafbbaba(2)(2)(2)(2)2()2()abbaabaebaebabaeebaba令()2(2),0xgxxxex，则()1(12)1(1)xxgxxexe.()gx的导函数()(11)0xxgxxexe，且(0)0g，因此()0gx，()gx在(0,)上单调递增，而(0)0g∴在(0,)上()0gx，∴(2)(2)02()baababaeeba∴当ab时，()()()()2fafbfbfaba解法二：()()()()()()2()22()abbafafbfbfabaeeeebaba以b为主元，并将其视为x，构造函数()()()2()()xaxahxxaeeeexa，则()(1)xahxxaee，且()0ha∵()()xhxxae且0xa，∴()hx在(,)a上单调递增，∴当xa时，∴()hx在(,)a上单调递增，∴当xa时，()()0hxha∴当ab时，()()()()2fafbfbfaba9.2013年上海市虹口区高考一模数学试卷第23题理科教学贴心服务专家答案：见解析分析：(1)由sin()sin()xax得sin()sinxax，根据诱导公式得2()akkZ．∴sinyx具有“()Pa性质”，其中2()akkZ．(2)∵()yfx具有“(0)P性质