单调数列的极限

1一、单调数列的极限在学习数列极限过程中，有一类数列是由递推式)2,1()(1，，nxfxnn确定的，对这类数列常用“单调有界的数列，必有极限”的数列极限存在准则来判断极限的存在性，并求出它的极限值。1.递推数列)2,1()(1，，nxfxnn单调性的判断：(i)若0)(xf,则数列)2,1}({，nxn是单调的，当21xx,数列}{nx单调不减，当21xx,数列}{nx单调不增；(ii)若0)(xf,则数列)2,1}({，nxn不是单调的，但它的两个子列：奇子列)2,1}({1-2，nxn和偶子列)2,1}({2，nxn却是单调的，并具有相反的单调性，即当31xx时,数列}{1-2nx就单调不减，}{2nx单调不增，反之当31xx时,数列}{1-2nx单调不增，}{2nx就单调不减。2.递推数列)2,1()(1，，nxfxnn有界性的证明常借助于均值不等式nnxxxnxxx2121和数学归纳法，或利用函数极值的求法，求出)(xf的最大值或最小值。此最值就是数列的上界和下界。3.求极限。(i)由数列的单调有界性，利用极限运算法则，在递推式的两端取极限)(limlim1nnnnxfxA，解方程)(AfA，即可求得极限A。(ii)若两子列的极限1-2limnnx，1-2limnnx存在且相等，则数列nnxlim存在。第一讲极限与连续2例1设，01x)2,1(111，，nxxaxnnn，其中a是不超过2的常数，求使数列}{nx收敛的a值，并计算此时的nnxlim。解：假设Axnnlim,则令n对递推式两边取极限得AAaA11,即12aA，所以当1a时，nnxlim才能存在。下面考虑21a的情况。显然对任意的正整数n有11211101nnnnxaxxax,即数列}{nx有界。令)10(11)(xxxaxf,由于0)1(2)(2xaxf，所以}{nx单调且有界，故nnxlim存在，其极限1aA.即当21a时，}{nx收敛，且1limaxnn.例2设二元函数)(21),(xyxyxF，且52),1(2yyyF。又设，01x)2,1()2,(1，nxxFxnnn。(1)证明：数列}{nx收敛；(2)求nnxlim。解：(1)由2)1(),1(yyF522yy得92)(2yy，所以xxyyxF29)(),(2因此数列}{nx的递推式为，01xnnnxxx2921)2,1(，n。显然0nx，由均值不等式知3929221nnnnnxxxxx，即有}{nx下界。令)3(29)(2xxxxf,由于029)(22xxxf，所以}{nx单调。又因为02929222222223xxxxxxx知}{nx单调不增，因此}{nx收敛。(2)记3limAxnn,令n对递推式两边取极限得AAA292,即3A，所以3limnnx.3例3.设，0a，01x，02x且)2,1()(21，，naxxxnnn，证明数列}{nx收敛且axnn1lim。解：记)(2)(axxxf,这是一条抛物线，它的最大值为a1，由数学归纳法知)3,2(1)(201，，naaxxxnnn，即}{nx有界。又因为0)1(2)(xaaxf，，ax10得数列}{nx收敛。记0limAxnn,令n对递推式两边取极限得)2(aAAA,即aA1，所以axnn1lim.例4设),10(21aax)2,1(2221，，nxaxnn，求nnxlim.解：易知),2,1(20，naxn即数列}{nx有界。又因为)22()(2xaxf,且0)22()(2xxaxf,知数列}{nx不是单调的，但022213xxx,所以奇子列}{1-2nx是单调不增的，偶子列}{2nx是单调不减的。故，nnx2lim1-2limnnx都存在。分别记其极限为BA,，令2limlim2212nnnnxax得22AaB,同时又成立22BaA，所以BA,故nnxlim存在.且满足22AaA，则1-1limaAxnn.举一反三练习：1.设301x,)2,1()(31，，nxxxnnn,(1)证明:数列}{nx收敛；(2)求nnxlim。)23(2.设21x,)2,1(121，，nxxnn,求nnxlim。)21(4二、利用等价无穷小代换求极限1.常见的等价无穷小：0x时，xx~sin,xx~tan,xx~arcsin,xx~arctan,xx~1-e,xx~)1(ln,)0(~1-)(1xx,221~cos1xx。推广：当x在某种趋近方式下，有0)(x时，将上面八个式子中的x全部替换成)(x,等价式子仍然全部成立。例1求极限)11(sin1)3cos2(lim30xxxx。解：当0x时，6~)cos1(3~)]cos1(311[ln~1e1)3cos2(3)]cos1(311[lnxxxxxxxxx;33321~11~)11(sinxxx，故3126lim)11(sin1)3cos2(lim33030xxxxxxx.例2.求极限)ln11(lnln)arccot1sin(26lim22nnnnnnnnn。解：利用等价无穷小，)n(1~ln1ln~)ln11(lnlnnnnnnnn，而12lim2nnn，所以原式303)1arccotsin(6lim1)arccot1sin(6limxxxxnnnnxn令(利用洛比达法则)1sin)1(cos2lim)1(1cos)1(lim2)11cos(lim2202220220xxxxxxxxxxxxxxx.将数列极限转化为函数极限，然后利用洛比达法则这是求数列极限的常用方法。2.在等价无穷小代换求极限过程中，乘积的因子可以任意代换,加减的因子代换要慎用.但在下列情况时，加减的因子就可以整体代换.若)(~)()(~)(11xxxx，.且1)()(lim11xx,则)()(~)()(11xxxx。5例3求极限43660coscoscossin1limxxxxxx.解：当0x时，]1)1(cos1[]1sin1[cossin16666xxxxxx而222664112161~)1cos(61sin61~]1)1(cos1[]1sin1[xxxxxxxxx;24343241)1cos)(4131(~]1)1(cos1[]1)1(cos1[coscosxxxxxx,故原式624141lim220xxx.3．若)()(~)(1xxx，是较)(x高阶的无穷小，则)(~)(~)()(1xxxx.例4求极限)11(arcsin)cos1e(lnlim2sin202xxxx.解：2sinsin2sin2)1cos1e(~)]1cos1e(1[ln)cos1e(ln222xxxxxx2sin]cos1)1e[(2xx2221~)cos1(~xx其中是由于)1e(2sinx是xcos1的高阶无穷小所以12121lim1121lim)11(arcsin)cos1e(lnlim2202202sin202xxxxxxxxxx.举一反三练习：三、利用拉格朗日中值定理求极限命题：若cxxxxxx)(lim)(lim00，)(uf在cu的邻域内连续可导，且0)(cf，则)()]()()[(~)]([)]([0xxxxcfxfxf。例1求xxxxxlncos1cos3cos2coslim30解：原式xxxxxxxxxxlncoscos3lncos2lnlncoslimlncos1ln]cos3cos2ln[coslim30302sinsin01tan1sin1.limxxxxxee2320sin1coslim1costanxxxxx2.求0(1)cos23.lim(tan2sin)(sin2)xxxxxxxx6xxxxxxxxxlncoslncos3lim31lncoslncos2lim21lncoslncoslim0001cos1cos3lim311cos1cos2lim21100xxxxxx632121)(321lim3121)(221lim211220220xxxxxx例2设223]lncostan[lim20xxxxx.解：原式)2ln(ln3)1(coslim2lnln3lncoslim)2(ln)ln(30tan]lncostan[lim20220202xxxxxxxxxxxxxx2ln6121limln610xxx.例3求xxxxx1arctan4e)1(1lim.解：原式xxxxxxxxxxxx1111lne])1[ln(1lime)1arctan4(tanlne])1e[ln(1lim)12(1])1[ln(1limexxxx上式利用)tantan1tantan)(tan(1])1ln(1[2lime1])1[ln(1lime1])1ln(1[2limexxxxxxxxxxxe2t1t11lime2ttt)ln(1lime21t]1)1[ln(1lime20t20t2xxxxx。举一反三练习：1.)tan(sin)tan(sin2)esin()esin(lim202xxxxxxx；2.)(sinsin)sin(tan)sin1()tan(1lim550xxxxx.3.2220)]ln(1)[ln(1)1ln(1)1ln(1limxxxxx7四、利用带皮亚诺余项的麦克劳林公式求极限)(on21enn2xxxxx！！;)(on)1(2)1ln(nn1n2xxxxx)(o1)-(2n)1(3sin2n1-2n1-n3xxxxx！！；)(o(2n))1(21cos12n2nn2xxxx！！;)(o1)1(nn2221xxCxCxCx例1求极限xxxxxx222220sincossinlim解：)cos4(1812sin41cossin222222xxxxxxx)]}(o)(4!41)(4!211[{1815422xxxx454542234~)(o34)](o34[xxxxxxx因此，3434limsincossinlim440222220xxxxxxxxx.例2求极限xxxxxxcos3)31(lne1lim2233202解：)](o)3(!2131[)](o!2)311(31311[e154225423322xxxxxxxx)(o6154xx)](o!211[3)](o)3(213[cos3)31(ln322522222xxxxxxxxx)(o354xx所以181361limcos3)