函数的放缩能力的提升

1新教材下函数的放缩能力的提升石室中学：张泾与导数结合的函数放缩题是近几年各种大型考试的热点，一诊、二诊、三诊以及高考的压轴题都常常选这一背景进行命题。如何构造函数是这一类题的精髓所在！在新教材体系下，这一种能力在学生中如何有效突破，如何有效提升成为了一个很关键的课题。现在就我对教学中的一些做法与想法与大家共同探讨一下，让大家看看我其中的得与失，力争让每一个到会的朋友都能有一定的收获。一、“抓手一”从我个人的经验看，在各种函数放缩的压轴题中，最大的主角是lnx，如何摆脱lnx，把对数背景的数列转变为普通数列，成了突破函数放缩能力的第一“抓手”，关于不等式：1ln1xxxx（1x）成为了这一类题的最好素材。（为了让学生加强记忆，有所沉淀，我把上一不等式常常戏称为“定海神针”，以达到强化记忆的目的。）所以刚开始时，我就集中选练这一方面的很多小题，如：例1．求证21+31+41+…+11n)1ln(n1+21+31+41+…+n1例2．已知nN，求证：111111ln2122121nnnnnn例3．证明对任意的正整数n，不等式23111ln1nnn都成立．例4．求证:212131211nn例5．已知,4nNn.求证：11117123210nnnn.例6．求证:213121111nnn例7．数列na中，1nnan，求证12ln2ln2naaann。例8．求证:en)!11()!311)(!211(2例9．（2012一诊22）已知函数21()ln1222fxxmxmxm，0m。（1）当1m时，求函数()3xyfx的单调区间；（2）已知2em，（其中e是自然对数的底数），若存在实数011,22ex，使0()1fxe成立，证明210me；（3）证明：2183(1)(2)ln32nkknnk（nN）二、“抓手二”这是我让学生过的第一道关，这一道关其实学生很好就能把握的。但在学习的过程中，又常常会遇到很多不能用1ln1xxxx（1x）放缩成功的，比如说：以下几例中所渗透出来的不等式，就比1ln1xxxx（1x）要求还要高一些，这是我教学中的第二个“抓手”11ln()12xxxx（1x），定海神针的内涵也被拓宽成了下列不等式111ln()12xxxxxx（1x）。例10．（2010四川理科22题（2））对任意正整数证明不等式2(1)2ln022(1)nnnnnn。例11．证明：1111ln(1)(1)232(1)nnnnn。例12．证明：11111ln(21)()3521221nnnNnn三、“抓手三”在教学过程中，我还遇到了这样一个题：例13．（全国二理22，有改动）（Ⅰ）设函数2()ln(1)2xfxxx，证明：当x＞0时，()fx＞0；（Ⅱ）证明：199()10＜21e.在做完这一个题以后，我给一lnx的逼近函数，12(1)ln11xxxxxx，就把上面这3一个题反复研究，学生对定海神针的内涵又进了一层。四、“抓手四”在教学过程中，要善于抓住考题中的“乌龙”，从而提升破题速度。而这一类题通过1ln1xxxx（1x）的图象可以看得一清二楚。例15．证明:)1*,(4)1(1ln54ln43ln32lnnNnnnnn例16．求证：)1(2nnnln4ln3ln2ln)2(n例17．求证nnn1ln44ln33ln22ln)2(n例18．2222222ln2ln3ln21(,2).232(1)nnnnnnnN例19．求证:)2()1(212ln33ln22ln,22nnnnnn例20．求证：)(665333ln44ln33ln22ln*Nnnnnn.例21．求证:32)]1(1[)321()211(nenn例22.（二诊22题）已知函数axaxgxxf(.23)(,ln)(为实常数）．(I)当1a时，求函数)()()(xgxfx在),4[x上的最小值；(Ⅱ)若方程)()(2xgexf（其中71828.2e）在区间]1,21[上有解，求实数a的取值范围；(Ⅲ)证明：*,12)]1()()12(2[601451Nnnkfkfkfnnk（参考数据：6931.02ln）五、“抓手五”既然在各种函数放缩的压轴题中，最大的主角是lnx，那么对e的理解我认为也是一种必需的知识储备，1lim(1)nnen，做为数学分析中的一种最基本最重要的极限，在导数的公式推导中，我也给学生讲了一下。但最重要的是：我让学生通过这一个结论的记忆，知道一些常见的不等式：如（1）nN时，1(1)nen；4（2）数列1(1)nnan为一个单调递增数列；（3）1(1)2nen（4）31(1)3nen（5）22(1)nen有一个晚自习时，我曾经让班上的学生做了两个题，其中的一个题是高三的三诊模拟题，例23.（四中三诊模拟22题）已知数列}{na满足).2(22,111nnaaann（I）求数列}{na的通项公式；（II）若数列}{nb中24b，前n项和为nS，且4()(*).nnSnbnannN证明：1215(1).3nbnb很多学生在做最后一个不等式证明时，用15(1)23nen，很快得证。在教学过程中，还曾经遇到过这样两个题，都是学生问我的，我觉得有一类用贝努里不等式能处理的问题，用定海神针来做，也行。如：例24．求证：23423433334(,2)313131313nnnNn例25．求证：nN时，21)411()411)(411(2n六、“抓手六”我个人习惯在讲一种难题时，首先要尽可能多地给学生以铺垫，让学生在成功的体验中学习，更有趣一些。让学生能自主地找到突破口，是最重要的。例26．已知：数列na满足：11a，11122nnnnaa，nN（1）求数列na的通项公式；（2）证明：1112nna；（3）设224nnnTann，且21ln(1)2nnnKTT。证明：22nnnTTK。例27．已知函数()ln1fxxx,数列na满足101a,1nnafa;数列nb满足1111,(1)22nnbbnb,*nN.求证:（Ⅰ）101;nnaa5（Ⅱ）21;2nnaa（Ⅲ）若12,2a则当n≥2时,!nnban.例28．已知112111,(1).2nnnaaann证明2nae.例29．(1)证明:ln1(0)xxx(2)数列na中.11a,且11211122nnnaann;①证明:724nan②21naen七、“抓手七”当然学生既使学会了这些，也只是具备了一定的能力而已，在未来的高三提升中，还需要更多的磨砺与积累。