近三年中考数学综合题集锦(完善版)

1/51近三年中考数学综合题集锦一、知识网络梳理数学综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以数学综合题的形式出现．解数学综合题一般可分为认真审题、理解题意，探求解题思路，正确解答三个步骤．解数学综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解数学综合题的灵魂，要善于总结解数学综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程的思想等，要结合实际问题加以领会与掌握，这是学习解综合题的关键．题型1方程型综合题这类题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．题型2函数型综合题函数型综合题主要有：几何与函数相结合型、坐标与几何方程与函数相结合型综合问题，历来是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象及性质、方程的有关理论的综合．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力和较好的区分度，因此是各地中考的热点题型，压轴题的主要来源，并且长盛不衰，年年有新花样．题型3几何型综合题几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1．几何型综合题，常用相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧的长度的计算，角、角的三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．4．解几何综合题应注意以下几点：（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系．（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化．（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线添法．（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．解决几何型综合题的关键是把代数知识与几何图形的性质以及计算与证明有机融合起来，进行分析、推理，从而达到解决问题的目的．二、知识运用举例2/51例1（05安徽省六安市）已知关x的一元二次方程230xxm有实数根．（1）求m的取值范围（2）若两实数根分别为1x和2x，且221211xx求m的值．分析与解答本题目主要综合考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系的应用以及代数式的恒等变形等．（1）由题意，△≥0，即94m≥0．解得94m．（2）由根与系数的关系，得12123,xxxxm．∴222121212()292xxxxxxm．∴9211m．∴1m．例2（05北京市）已知关于x的方程2(2)20axaxa有两个不相等的实数根1x和2x，并且抛物线2(21)25yxaxa与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁．（1）求实数a的取值范围．（2）当1222xx时，求a的值．分析与解答本例以一元二次方程为背影，综合考查一元二次方程桶的判别式、桶与系数关系、分式方程的解法以及二次函数的有性质等．（1）一方面，关于x的方程2(2)20axaxa有两个不相等的实数根，∴△＝2(2)4(2)020aaaa且．解之，得0a且a-2．另一方面，抛物线2(21)25yxaxa与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁，且开口向上，∴当2x时0y，即42(21)250aa，解得32a．综合以上两面，a的取值范围是302a（2）∵1x、2x是关于x的方程2(2)20axaxa的两个不相等的实数根，∴12122,22aaxxxxaa．∵302a，∴20a，∴1202axxa．∵128xx，∴22112228xxxx，即∴22112228xxxx，∴21212()48xxxx．∴224()822aaaa，解得124,1aa．经检验，124,1aa都是方程224()822aaaa的根．∵342a舍去，∴1a．说明运用一元二次方程根的差别式时，要注意二次项系数不为零，运用一元二次方程根与系数的关系时，要注意根存在的前提，即要保证△≥0．图2-4-18EDCBAO3/51例3（05重庆市）如图2－4－18，090B，O是AB上的一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．若AD＝23，且AB、AE的长是关于x的方程280xxk的两个实数根．（1）求⊙O的半径．（2）求CD的长．分析与解答本题是一道方程与几何相结合的造型题，综合考查了切割线定理、根与系数的关系、一元二次方程的解法、勾股定理知识．（1）∵AD是⊙O的切线，∴2ADAEAB．又23AD，∴12AEABg．∵AE、AB的长是方程280xxk的两个实数根，∴AEABkg，∴12k，把12k代入方程280xxk，解得122,6xx．∴AE＝2，AB＝6．∴⊙O的半径为1()22ABAE（2）∵CB⊥AB，AB经过圆心O，∴CB切⊙O于点B，∴CD＝CB．在Rt△ABC中，设CDx，由勾股定理得222ABBCAC，∴2226(23)xx，解得23x．∴23CD．例4．（2007四川绵阳）已知x1，x2是关于x的方程（x－2）（x－m）＝（p－2）（p－m）的两个实数根．（1）求x1，x2的值；（2）若x1，x2是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．解：（1）原方程变为：x2－（m＋2）x＋2m＝p2－（m＋2）p＋2m，∴x2－p2－（m＋2）x＋（m＋2）p＝0，（x－p）（x＋p）－（m＋2）（x－p）＝0，即（x－p）（x＋p－m－2）＝0，∴x1＝p，x2＝m＋2－p．（2）∵直角三角形的面积为)2(212121pmpxx＝pmp)2(21212＝)]4)2(()22()2([21222mmpmp4/51＝8)2()22(2122mmp，∴当22mp且m＞－2时，以x1，x2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为8)2(2m或221p．例5．（07茂名市）已知函数22yxxc的图象与x轴的两交点的横坐标分别是12xx，，且222122xxcc，求c及1x，2x的值．解：令0y，即220xxc，当方程有两个不相等的实数根时，该函数的图象与x轴有两个交点．此时2240c即1c．由已知12122xxxxc，∵222122xxcc，∴22121222xxxxcc，∴22222ccc，∴24c，∴122,2cc(舍去)．当2c时，2220xx，解得1213,13xx．综上：2c，1213,13xx为所求．例6（07天津市）已知关于x的一元二次方程xcbxx2有两个实数根21,xx，且满足01x，112xx．（1）试证明0c；（2）证明)2(22cbb；（3）对于二次函数cbxxy2，若自变量取值为0x，其对应的函数值为0y，则当100xx时，试比较0y与1x的大小．解：（1）将已知的一元二次方程化为一般形式即0)1(2cxbx∵21,xx是该方程的两个实数根∴)1(21bxx，cxx21相关链接：若12xx，是一元二次方程20axbxc(0)a的两根，则1212bcxxxxaa，．5/51而01,0121xxx∴0c（2）212122124)()(xxxxxx1424)1(22cbbcb∵112xx∴1)(212xx于是11422cbb，即0422cbb∴)2(22cbb（3）当100xx时，有10xy∵cbxxy0200，1121xcbxx∴)(12102010cbxxcbxxxy))((1010bxxxx∵100xx∴010xx又∵112xx∴112xx，12121xxx∵)1(21bxx∴12)1(1xb于是021bx∵100xx∴010bxx由于010xx，010bxx∴0))((1010bxxxx，即010xy∴当100xx时，有10xy例7（05贵阳市）如图2－4－20，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）求D点的坐标．（2）求一次函数的解析式．（3）根据图象写出使一次函数值大于二次函数的值的x的取值范围．分析与解答（1）由图2－4－20可得C（0，3）．∵抛物线是轴对称图形，且抛物线与x轴的两个交点为A（－3，0）、B（1，0），∴抛物线的对称轴为1x，D点的坐标为（－2，3）．（2）设一次函数的解析式为ykxb，将点D（－2，3）、B（1，0）代入解析式，可得6/51230kbkb，解得1,1kb．∴一次函数的解析式为1yx．（3）当21xx或时，一次函数的值大于二次函数的值．说明：本例是一道纯函数知识的综合题，主要考查了二次函的对称性、对称点坐标的求法、一次函数解析式的求法以及数形结合思想的运用等．例8（05吉林省）如图2－4－21，二次函数2(0)yaxbxca的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（－1，0），点C（0，5）、D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）求△MCB的面积．分析与解答第（1）问，已知抛物线上三个点的坐标，利用待定系数法可求出其解析式．第（20问，△MCB不是一个特殊三角形，我们可利用面积分割的方法转化成特殊的面积求解．（1）设抛物线的解析式为2yaxbxc，根据题意，得058abccabc，解之，得145abc．∴所求抛物线的解析式为245yxx．（2）∵C点的坐标为（0，5）．∴OC＝5．令0y，则2450xx，解得121,5xx．∴B点坐标为（5，0）．∴OB＝5．∵2245(2)9yxxx，∴顶点M坐标为（2，9）．过点M用MN⊥AB于点N，则ON＝2，MN＝9．∴11(59)9(52)551522MCBBNMOBCOCMNSSSS梯形说明：以面积为纽带，以函数图象为背景，结合常见的平面几何图形而产生的函数图象与图形面积相结合型综合题是中考命题的热点．解决这类问题的关键是把相关线段的长与恰当的点的坐标联系起来，必要时要会灵活将待求图形的面积进行分割，转化为特殊几何图形的面积求解．例9（05湖南省娄底市）已知抛物线2(4)24yxmxm与x轴交于1(,0)Ax、2(,0)Bx，与y轴交于点C，且1x、2x满足条件1212,20xxxx（1）求抛物线的解析式；（2）能否找到直线ykxb与抛物线交于P、Q两点，使y轴恰好平分△CPQ的面积？求出k、b所满足的条件．分析与解答（1）∵△＝22(4)4(24)320mmm，∴对一切实数m，抛物线与x轴恒有两个交点，由根与系数的关系得124xxm…①，12(24)xxm…②．