拓扑绝缘体中的拓扑不变量研究

中国科学技术大学博士学位论文拓扑绝缘体中的拓扑不变量研究姓名：汪忠申请学位级别：博士专业：理论物理指导教师：完绍龙;张首晟2010-11-04摘要摘摘摘要要要拓扑绝缘体是一大类新的物质相，它们的体态是有能隙的，但是由于非平凡的能带拓扑，它们具有无能隙的表面态。量子霍尔系统、量子自旋霍尔系统、三维拓扑绝缘体等都是拓扑绝缘体的例子。近年来，拓扑绝缘体的研究大大加深了人们对凝聚态物理的理解，揭示了凝聚态物理和高能物理的联系。拓扑超导体是拓扑绝缘体概念的延伸，拓扑超导体中的费米子能谱也是有能隙的，所以可以进行拓扑分类，非平凡的拓扑超导体具有稳定的表面态。除了深刻的理论意义外，拓扑绝缘体和拓扑超导体在自旋电子学、拓扑量子计算等领域有广阔的应用前景。这篇博士论文除了介绍了拓扑绝缘体和拓扑超导体的基本概念外，主要包含以下三方面内容：(1)对三维拓扑绝缘体，我们利用拓扑学中的数学工具，证明了拓扑能带理论和拓扑场论的分类是等价的。在此之前，三维拓扑绝缘体有两种独立的描述：拓扑场论描述和拓扑能带理论描述。拓扑场论描述可以直接给出物理响应，而且对有电子-电子相互作用和无序的系统也有统一的描述。拓扑能带理论将所有拓扑绝缘体当做晶格中的电子气来处理，完全忽略电子-电子相互作用，这是它理论上的缺陷，但是它的优点是易于计算。我们在本文中证明，在无相互作用的极限下，拓扑场论的描述和拓扑能带理论的描述是等价的，因此建立了两种描述之间的明确关系。(2)对存在电子-电子相互作用和无序的绝缘体，我们采用格林函数定义了一个拓扑不变量，这个拓扑不变量对应于拓扑场论中出现的量子化系数。三维的时间反演不变的拓扑绝缘体用一个含有theta项的拓扑场论来描述，这个theta项有一个量子化的系数，它是拓扑绝缘体的拓扑不变量。以前的文献中给出了在没有电子-电子相互作用时这个不变量的表达式。在本文中，我们利用对称性和拓扑工具，提出了用格林函数构造有相互作用的绝缘体的拓扑不变量，其形式和粒子物理中出现的Wess-Zumino-Witten有效作用量类似，这也说明了拓扑绝缘体和量子场论中的反常的联系。(3)对三维的拓扑超导体，我们建立了拓扑场论描述，并研究了它的物理响应。超导体和绝缘体不同，它没有守恒电荷，所以没有𝑈(1)拓扑场论描述。我I摘要们在本文中采用引力有效理论来描述三维的拓扑超导体，包括He3-B相。与一般的Einstein-Hilbert作用量不同，我们得到的有效作用量包含一个拓扑theta项。这个拓扑项的时间反演不变性和数学中的自旋流形存在紧密联系。这个拓扑场论对应的物理响应是拓扑超导体表面的thermalHall效应，更精确的说，我们说明了，在三维时间反演不变的超导体的𝑍分类中，偶数类的表面thermalHall系数可以为零，但奇数类的thermalHall系数一定非零，这是引力有效场论的推论。关关关键键键词词词：：：拓扑绝缘体，拓扑超导体，拓扑不变量,拓扑场论，反常，格林函数IIABSTRACTABSTRACTTopologicalinsulatorsarenewphasesofmatter.Theirbulkstatesaregapped,butthesurfacestatesaregaplessbecauseofthenontrivialbandtopology.QuantumHallsystems,quantumspinHallsystems,three-dimensionaltopologicalinsulatorsarefamousexamplesoftopologicalinsulators.Inrecentlyyears,theresearchintopologi-calinsulatorshasbeendeepeningourunderstandingofcondensedmatterphysicsanditsrelationwithhighenergyphysics.Topologicalsuperconductorsarenaturalgener-alizationoftopologicalinsulators.Withnonzerobulkgap,topologicalsuperconduc-torscanbetopologicallyclassified.Topologicalinsulatorsandsuperconductorshavegreatimportancetobothfundamentalresearchandpracticalapplicationsinspintron-ics,topologicalquantumcomputations,etc.Inthisthesis,afteranintroductiontobasicconceptsoftopologicalinsulatorsandsuperconductors,weshallfocusmainlyonthefollowingthreetopics:(1)Forthree-dimensionaltopologicalinsulators,usingmathematicalmethodsfromtopology,weprovedthatthetopologicalfieldtheorydescriptionandtopologicalbandtheorydescriptionareequivalent.Beforethiswork,therearetwoindependentdescrip-tionsofthreedimensionaltopologicalinsulators:topologicalfieldtheoryandtopo-logicalbandtheory.Topologicalfieldtheorycanbeeasilyusedtocalculatephysicalresponses,furthermore,itisapplicabletobothinteractinganddisorderedsystems.Topologicalbandtheorytreatsthesystemasnon-interactingfermiongas,whichisadisadvantage.Butthetopologicalbandtheoryhasdistinctadvantagethatitiseasytocalculate.Inthisthesis,weshallprovethatinthenon-interactinglimit,thetopolog-icalfieldtheoryisreducedtothetopologicalbandtheory,andthusobtainanexplicitrelationbetweentopologicalfieldtheoryandtopologicalbandtheory.(2)Forinteractinganddisorderedinsulators,wedefinedatopologicalinvariantusingGreen’sfunctions,whichisrelatedtothequantizedcoefficientintopologicalfieldtheory.Threedimensionaltime-reversalinvarianttopologicalinsulatorsarede-scribedbyatopologicalfieldtheorywithathetaterm,withaquantizedcoefficient.IIIABSTRACTThisquantizedcoefficientisatopologicalinvariantofthesystem.Theexplicitexpres-sionofthistopologicalinvariantinthenon-interactinglimitwasknowninliteraturebefore.Inthisthesis,usingsymmetryandtopologymethods,weproposedatopologi-calinvariantusingGreen’sfunctions,whichisapplicabletointeractinganddisorderedsystems.TheexplicitexpressionofthistopologicalorderparameterissimilartotheWess-Zumino-Witteneffectiveaction,whichsuggestsdeeprelationbetweentopologi-calinsulatorsandanomaliesinquantumfieldtheory.(3)Forthreedimensionaltopologicalsuperconductors,weproposedatopologicalfieldtheory,andstudiedtheirphysicalresponses.Topologicalsuperconductorsaredifferentfromtopologicalinsulatorsinthefactthattheyhasnoconservedcharge,andhasnodescriptionusing𝑈(1)topologicalfieldtheory.Inthisthesis,weproposedagravitationaleffectivefieldtheorytodescribethem,includingHe3-Bphase.TheresultanteffectiveactionisdifferentformtheclassicalEinstein-Hilbertactioninthatwehaveatopologicalthetaterm.Thetimereversalinvarianceofthisthetatermiscloselyrelatedtospinmanifolds.ThephysicalresponseoftopologicalsuperconductoraresurfacethermalHalleffect.Tobemoreprecise,fortopologicalsuperconductorsintheevenclasses,thesurfacethermalHallcoefficientcanbezero;whilefortopologicalsuperconductorsintheoddclasses,thesurfacethermalHallcoefficientsarealwaysnonzero.Thisisainferenceofthegravitationaltopologicalfieldtheory.Keywords:Topologicalinsulator,Topologicalsuperconductor,Topologicalinvariant,TopologicalFieldTheory,Anomaly,Green’sfunctionIV中国科学技术大学学位论文原创性和授权使用声明本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。保密的学位论文在解密后也遵守此规定。作者签名：年月日第1章拓扑绝缘体的基本概念第第第1章章章拓拓拓扑扑扑绝绝绝缘缘缘体体体的的的基基基本本本概