毕业论文矩阵分解方法的探讨

矩阵分解方法的探讨ThediscussionaboutdecompositionofMatrix专业:数学与应用数学作者:指导老师:学校二○一I摘要矩阵是数学研究中一类重要的工具之一,有着非常广泛的应用,矩阵分解对矩阵理论及近代计算数学的发展起了关键作用.本文从矩阵的LU分解、矩阵的QR分解、矩阵的满秩分解等几个方面对矩阵分解方法进行了论述:给出了矩阵分解的几种方法.关键词:矩阵,对称正定矩阵,矩阵的三角分解；矩阵的满秩分解；矩阵的QR分解.IIAbstractThematrixisaimportanttoolinclassofmathematicalresearch,andithasaverywiderangeofapplications,matrixdecompositionplaysakeyroleinmatrixtheoryanddevelopmentofmoderncomputationalmathematics.ThisarticlebeginatthediscussfromthematrixofLUdecomposition、MatrixoftheQRDecomposition、Matrixdecompositionoffullrankandsoon.givenamatrixfactorizationmethod.Keywords:Matrix;Symmetricpositivedefinitematrix,Triangulardecompositionofmatrix;matrixfullrankdecomposition;QRdecompositionofmatrix.目录摘要..................................................................IAbstract.................................................错误!未定义书签。0引言...................................................................11矩阵的三角(LU)分解....................................................11.1矩阵的三角分解基本概念与定理.....................................11.2常用的三角分解公式...............................................71.2.1杜利特分解.................................................71.2.2克劳特分解.................................................71.2.3乔累斯基分解...............................................82矩阵的满秩分解........................................................152.1矩阵的满秩分解基本概念与定理....................................153矩阵的QR分解.........................................................183.1矩阵的QR分解基本概念与定理....................................183.2矩阵QR分解的常用方法..........................................203.2.1利用Householder矩阵变换....................................203.2.2利用QR分解公式...........................................203.2.3利用列初等变换法...........................................21参考文献................................................................24第1页,共24页0引言矩阵的三角分解、正交三角分解、满秩分解将矩阵分解为形式比较简单或性质比较熟悉的一些矩阵的乘积,这些分解式能够明显地反映出原矩阵的许多数值特征,如矩阵的秩、行列式、特征值及奇异值等.另一方面,构造分解式的方法和过程也能够为某些数值计算方法的建立提供了理论依据.本文从矩阵的LU分解；矩阵的QR分解；矩阵的满秩分解等几个方面对矩阵分解方法进行论述:探讨矩阵分解的方法.1矩阵的三角分解1.1矩阵的三角分解基本概念与定理定义1.15设mnAC,如果存在下三角矩阵mnLC和上三角矩阵nmUC,使得A=LU,则称A可作三角分解或LU分解.定义1.2设A为对称正定矩阵,D为行列式不为零的任意对角矩阵,则TAA,U为一个单位上三角矩阵,且有ALDU成立：1)如果L是单位下三角矩阵,D是对角矩阵,U是单位上三角矩阵,则称分解DALU为LDU分解.2)如果L=LD是下三角矩阵,而U是单位上三角矩阵,则称三角分解ALU为克劳特Crout分解;3)如果UDU是单位下三角矩阵,U为上三角矩阵,则称三角分解ALU为杜利特Doolittle分解;4)如果11DALULDDDULDU,称为不带平方根的乔累斯基Cholesky分解;5)如果12LDL,12DUU,则1122ALDULDDULU,由于TUL,则TALL,称为带平方根的乔累斯基Cholesky分解.第2页,共24页定理1.1n阶非奇异矩阵A可作三角分解的充要条件是k0A1,2,,1kn,这里Ak为A的k阶顺序主子阵,以下同.证明必要性.设非奇异矩阵A有三角分解ALU,将其写成分块形式k12k122122212222AL0U=AA0UkAULL这里Ak,kL和kU分别为A,L和U的k阶顺序主子阵.首先由0A知L0,U0,从而L0k,U0k;因此A=LU0kkk1,2,,1kn.充分性.对阶数n作数学归纳法.当n=1时,1A=（11a）=（1）（11a）,结论成立.设对nk结论成立,即k=kkALU,其中kL和kU分别是下三角矩阵和上三角矩阵.若k0A,则由kA=LkkU易知Lk和kU可逆.现证当1nk时结论也成立,事实上-1kkkk1TT1T1-1k+1,1k1,1kkkAc0cA=10ckkkTkkkkkkLULrarUarUL.由归纳法原理知A可作三角分解.定理1.1给出了非奇异矩阵可作三角分解的充要条件,由于0110A不满足定理1.1的条件,所以它不能作三角分解.但110000110011211011202A.上例表明对于奇异矩阵,它还能作三角分解未必要满足定理1.1的条件.首先指出,一个方阵的三角分解不是唯一的,从上面定义来看,杜利特分解与克劳特分解就是两种不同的三角分解,其实,方阵的三角分解有无穷多,这是因为如果D是行列式不为零的任意对角矩阵,有1()()ALUCDDULU,其中,LU也分别是下、上三角矩阵,从而ALU也使A的一个三角分解.因D的任意性,所以三角分解不唯一.这就是A的分解式不唯一性问题,需规范化三角分解.定理1.2（LDU基本定理）设A为n阶方阵,则A可以唯一地分解为第3页,共24页A=LDU(1.1)的充分必要条件是A的前1n个顺序主子式k0A1,2,,1kn.其中L,U分别是单位下、上三角矩阵,D是对角矩阵D=diag12,,,nddd,1kkkAdA1,2,,kn,01A.证明充分性.若k0A1,2,,1kn,则由定理1.1,即实现一个杜利特分解ALU,其中L为单位下三角矩阵,U为上三角矩阵,记11121222nnnnuuuuuUu=1111112122222nnnnnaaaaaa=nA,因为u0iiiiia1,2,,1in.下面分两种情况讨论：1)若A非奇异,由式(1)有n=121122nnnaaa=0A,所以0nnnnnau,这时令121122diagnnnDaaa,则1121122111,,,nnnDdiagaaa.于是有1()ALULDDULDU(1.2)是A的一个LDU分解.2)若A奇异,则u0iiiiia,此时令12111221,1(,,,,0)nnnDdiagaaa,121n-111221,1,,,nnnDdiagaaa,=1n1u,,,Tnun,则100nTUU=1111110=DU0001nnnnTTUDUD,因此不论哪种情况,只要k0A1,2,,1kn,总存在一个LDU分解式(1.1),第4页,共24页1akkkkkkAdA1,2,,1kn,01A.再证这个分解是唯一的,仍分两种情况讨论：1)当A非奇异时,有0A,0D,0U,0L,所以L、D、U均非奇异.若还存在另一个LDU分解111ALDU,这里1L,1D,1U也非奇异,于是有111LDULDU(1.3)上式两端左乘以11L以及右乘以1U和1D,得111111LLDUUD,(1.4)但式(1.4)左端是单位下三角矩阵,右端是单位上三角矩阵,所以都应该是单位阵,因此1LLI,1111DUUDI,即1LL,1111UUDD.由后一个等式类似地可得11UUI,11DDI,即有1UU,1DD.2)若A奇异,则式(1.3)可写成分块形式1111100001000110001TTTTTLDULDU,其中1L,1L是1n阶单位下三角阵;U,1U是1n阶上三角阵;D,1D是1n阶对角阵;,1,,1是1n维列向量.由此得出111111TTTT111111LDULDLDULD=DUDDUD,其中1L,1D,1U和L,D,U均非奇异,类似于前面的推理,可得1L=L,1D=D,1U=U,1=,TT1=.必要性.假定A有一个唯一的LDU分解,写成分块的形式便是第5页,共24页1111A00=0101nnnnTTnnnxDLUyad,(1.5)其中1nL,1Dn,1nU,1nA分别是L,D,U,A的1n阶顺序主子矩阵;x,y,,为1n维列向量.由式(1.5)有下面的矩阵方程:1111nnnnALDU,(1.6)11TTnnyDU,(1.7)11nnxLD,(1.8)1TnnnnaDd.(1.9)否则,若10nA,则由式(1.6)有111110nnnnnALDUD.于是有1110nnnLDD,即11nnLD奇异.那么对于非其次线性方程组(1.8)有无穷多非零解,不妨设有,使11nnLDx,而=.同理,因11nnDU奇异,1111TTTnnnnLDUD也奇异,故有,使11TTnnUDy,