三角函数(动图)

1.在初中我们是如何定义锐角三角函数的？sincostancacbba复习回顾OabMPcOabMPyx2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？新课导入22:barOPbMPaOM其中yx2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？raOPOMcosrbOPMPsinabOMMPtan﹒baP,﹒Mo如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？﹒PMOPMPsinOPOMcosOMMPtanOMP∽PMOPOPMPOOMMOPM诱思探究MOyxP(a,b)OPMPsinOPOMcosOMMPtan，则若1rOPbaab1.锐角三角函数（在单位圆中）以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆.yOP),(bax1M2.任意角的三角函数定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点),(yxP那么:（1）叫做的正弦，记作，即；ysinysin（2）叫做的余弦，记作，即；cosxxcos（3）叫做的正切，记作，即。xytanxytan所以，正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数.0,1AOyxyxP,﹒)0(x使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域.)0,1(AxyoP),(yx的终边说明（1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点横坐标的比值.的横坐标，正切就是交点的纵坐标与（2）正弦、余弦总有意义.当的终边在y横坐标等于0，xytan无意义，此时)(2zkk轴上时，点P的（3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数.例1.求的正弦、余弦和正切值3535AOB解：在直角坐标系中，作AOB易知的终边与单位圆的交点坐标为13(,).22所以53sin,3251cos,325tan3.3思考：若把角改为呢?3567,2167sin,2367cos3367tan实例剖析xyo﹒﹒AB35设角是一个任意角，是终边上的任意一点，点与原点的距离.),(yxP022yxrP那么①叫做的正弦，即ryrysin②叫做的余弦，即rxrxcos③叫做的正弦，即xy0tanxxy任意角的三角函数值仅与有关，而与点在角的终边上的位置无关.P定义推广例2.已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦和正切值.)4,3(0P220(3)(4)5.OP解:由已知可得设角的终边与单位圆交于，),(yxP分别过点、作轴的垂线、0PMPP00PMx400PM于是，;54||1sin000OPPMOPMPyyyMP30OMxOMOMP∽00POM;531cos00OPOMOPOMxxsin4tan.cos3yx4,30P0MOyxMyxP,135122222yxr1312cosrx125tanxy5sin,13yr于是，巩固提高练习:1.已知角的终边过点，求的三个三角函数值.5,12P解：由已知可得：P15.22P15,8aaaa.已知角的终边上一点R且0，sin,cos,tan求角的的值.-15,8,xaya解：由于22158170raaaa所以1017,ara若则于是88151588sin,cos,tan171717171515aaaaaa20-17,ara若则于是88151588sin,cos,tan171717171515aaaaaa32sin,cos,tan.yx.已知角的终边在直线上，求角的的值1解：当角的终边在第一象限时，221,2125在角的终边上取点，则r=225152sin,cos,tan2551552当角的终边在第三象限时，221,2125r在角的终边上取点，则225152sin,cos,tan2551551.根据三角函数的定义，确定它们的定义域（弧度制）探究三角函数定义域sincostanR)(2Zkk2.确定三角函数值在各象限的符号yxosinyxocosyxotan+（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）R+--+--++-+-yxo+-+++++-----yxoyxo全为+yxosincostan记法：一全正二正弦三正切四余弦sinyrcosxrtanyx三个三角函数在各象限的符号心得:角定象限,象限定符号.例3.求证：当下列不等式组成立时，角为第三象限角.反之也对．0tan0sin①②证明：因为①式成立,所以角的终边可能位于第三或第四象限，也可能位于y轴的非正半轴上；0sin又因为②式成立，所以角的终边可能位于第一或第三象限.0tan因为①②式都成立，所以角的终边只能位于第三象限.于是角为第三象限角.反过来请同学们自己证明.P15.6如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkk其中zk利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求角的三角函数值.020360到或？例题235344cossintantan.()sin.cos.tan()例4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证:(1)250;(2)(-);(3)(-672);(4)34（1）因为是第三象限角，所以；2500250cos（3）因为=而是第一象限角，所以)672tan(tan(482360)tan48,tan(672)0;48解：（2）因为是第四象限角，所以4sin0;420tantan()tan.(4)3o5.9π11π(1)sin148010';(2)cos;(3)tan(-)46例求下列三角函数值:oooo(1)sin148010'=sin(4010'+4360)=sin4010'0.645;92(2)coscos(2)cos;4442113(3)tan()tan(2)tan.6663解：6.已知在第二象限,试确定sin(cos)cos(sin)的符号解:∵在第二象限,∴-1cos0,0sin1.∵--1,1,22∴-cos0,0sin.22∴sin(cos)0,cos(sin)0.∴sin(cos)cos(sin)0.故sin(cos)cos(sin)的符号为“-”号.117119cossintan363练习：求值117119cossintan363解：cos4sin12tan6363cossintan36311313221.内容总结①三角函数的概念.②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号.③诱导公式一.运用了定义法、公式法、数形结合法解题.划归的思想，数形结合的思想.归纳总结2.方法总结3.体现的数学思想MPysincosxOMMAP下面我们再从图形角度认识一下三角函数．思考:为了去掉等式中得绝对值符号，能否给线段OM、MP规定一个适当的方向,使它们的取值与点P的坐标一致？我们把带有方向的线段叫有向线段.(规定:与坐标轴相同的方向为正方向).yxo的终边MP的终边MPTMAPysinATOAATOMMPxytanOMxcosTMAPTMAP=MPTMA（1,0）P这几条与单位圆有关的有向线段分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线．统称为三角函数线.当角的终边在轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；此时角的正弦值和正切值都为0xATOMMP、、y当角的终边在轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．此时角的正切值不存在。TMAPTMAPTMAPTMAP41.,,3例作出角的正弦线余弦线正切线.MP是正弦线OM是余弦线AT是正切线yxoMPAT例题示范例2.作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．332（1）；（2）．例1.在0～内，求使成立的α的取值范围.23sin2aOxy2(,)33ppaÎPMP1P232y=21sinxyoP1P2xyoTA21030例２．利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角.30≤≤150解:3090或2102703tan3例3.若,试比较的大小.π0αsin,tan,2︵.解：如图，在单位圆中，设AOP=（（0，））,则AP=2PPMOAMAATOAOPT过点作于，过点作交的延长线于，.MPAT则角的正弦线为，正切线为POAPOAAOT的面积扇形的面积的面积，111222OAMPOAOAAT，即MPAT.sintan.POxyMAT54sin32sin与ABoS2S1P2P1M1例４.利用三角函数线比较下列各组数的大小：解：如图可知：54tan32tan与54sin32sinM254sin32sin与ABoT2T1S2S1例４.利用三角函数线比较下列各组数的大小：解：如图可知：54tan32tan与54sin32sin54tan32tan例5.求函数的定义域.()2cos1faa=-OxyP2MP112x=[2,2]()33kkkZppapp?++?P1cos2a³1.(0,2)cossintanxxxx在内使成立的的取值范围是()3(,)44A53(,)42B3(,2)2C37(,)24DCxyoMPAT32.(,)4若，则下列各式错误的是()()sincos0A()sincos0B()|sin||cos|C()sincos0DDsin0,cos0,|sin||cos|分析：xyoy=-xPM练习xyoy=-xxyoy=-xxyoMPsincos1,(0,)2MP30sincos1,(,)24PM3sincos0,(,)4xyoPM3sincos0,(,)2MPPM37sincos0,(,)247sincos0,(,2)4sincos0则322()44kkk若sincos0则3722()44kkk若sincos小结的符号问题：小结1.2．三角函数线的定义，会画任意角的三角函数线；3.利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围.)(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(zkkkk