1.1.2余弦定理

四川省平武中学正弦定理知识复习：对任意一个三角形，都有abc1.==sinsinsinABC正弦定理：asinasinsinabc=sin:sin:sin;=;;.bsinsinsinAAbBABCBcCcC变形：：：abc==sinsinsinsinsinsinabcABCABCabc===2RsinsinsinABC，R为三角形外接圆半径1112.=absinacsinbcsinA222ABCCB三角形面积公式S正弦定理的运用：已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。练习：p2sinsinsinABC天府数学（2）：在ABC中，a:b:c=1:3:5,求代数式的值2,sinsinsin35sin;sin;sin2222222sinsin2k-3k1=-sin5k5abcRABCakbkckABCRRRRRRABC解：方法一：由a:b:c=1:3:5,可设a=k,b=3k,c=5k::sin:sin:sinsinsinsinsin:sin:sin1:3:5sin=ksin=3ksin=5k2sinsin2k-3k1=-sin5k5abcabcABCABCABCABCABC解法二：，设，，，从而千岛湖120°情景问题岛屿B岛屿A岛屿C?千岛湖千岛湖情景问题120°岛屿B岛屿A岛屿C?120°ABC在△ABC中，已知AB=6km，BC=3.4km，∠B=120o，求AC用正弦定理能否直接求出AC？探究：在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA的夹角为∠C，求边c.﹚cABbCAaCB,,设)()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量减法的三角形法则得Cbabacos222bac﹚Abccbacos2222﹚)()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量减法的三角形法则得Cbabacos222bac探究：若△ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求AB边c.cABbCAaCB,,设﹚Baccabcos2222余弦定理Abccbacos2222)()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量减法的三角形法则得Cbabacos222探究：若△ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求AB边c.cABbCAaCB,,设bac向量法Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。CBAbac对余弦定理还有其他证明方法吗?余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。CBAbacCabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222bcacbA2cos222acbcaB2222cosabcbaC2cos222推论：利用余弦定理可以解决什么类型的三角形问题？证明：以CB所在的直线为x轴，过C点垂直于CB的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：(cos,sin)AbCbC222∴c=a+b-2abcosCxy(,0)Ba(0,0)C解析法222)0sin()cos(CbaCbABCbaCabCb22222sincos2cosCabbacos222证明ABCabcD当角C为锐角时几何法bAacCBD当角C为钝角时CBAabc余弦定理作为勾股定理的推广，考虑借助勾股定理来证明余弦定理。证明证明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A,作CD⊥AB，则CD=bsinA,BD=c-bcosAABCcba222CDBDa22(sin)(cos)bAcbA222222coscossinAAbcAcbb222cosbcAcb同理有：2222cosacBacb2222cosabCcab当然，对于钝角三角形来说，证明类似，课后自己完成。D120°ABC在△ABC中，已知AB=6km，BC=3km，∠B=120o，求AC解决实际问题解：由余弦定理得答：岛屿A与岛屿C的距离为7.937km.BBCABBCABACcos22222263263cos12063o=637.937AC（已知三角形两边及其夹角）例1、在△ABC中，已知a=,b=2,c=,解三角形解：由余弦定理得22222223161222231()()cos()bcaAbc60A22222263123122622()()cos()acbBac45B180180604575CAB631（已知三角形三边）练一练：P8练习1，21、已知△ABC的三边为、2、1，求它的最大内角。解：不妨设三角形的三边分别为a=,b=2,c=1则最大内角为∠A由余弦定理cosA=12+22-()22×2×1=-—12∴A=120°（大边对大角）变一变：若已知三边的比是:2:1,又怎么求？变式:在△ABC中，已知a=12,b=8,c=6,判断△ABC的形状.2227,2,4(7)1cos222kkkkkkAkk解：设三角形a,b,c依次为：变式:在△ABC中，已知a=12,b=8,c=6,判断△ABC的形状.解：由大角对大边，大边对大角原理，ABC中、最大的角是A;222643614411cos228624bcaAbc由cosA0,0A180,所以A是钝角三角形△ABC为钝角三角形余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。bcacbA2cos222中，在ABC为直角；Aacb222为锐角；Aacb222为钝角Aacb222CBAbacCabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222四类解三角形问题：（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角。（3）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（4）已知三边，求三个角。思考：已知两边及一边的对角时，我们知道可用正弦定理来解三角形，想一想能不能用余弦定理来解这个三角形？如：已知b=4,c=,C=60°求边a.小结:222cos2bcaAbc222cos2cabBca222cos2abcCab余弦定理可以解决的有关三角形的问题：1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。2、已知三边求三个角；3、判断三角形的形状Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222余弦定理：作业：推论:作业：天府数学1.1.2新知导学及A组练习题