八年级数学《因式分解》教案

因式分解多项式ma+mb+mc中的每一项都含有一个相同的因式m，我们称之为公因式，把公因式提出来，ma+mb+mc=m(a+b+c)，这种方法叫做提取公因式法。222222)ba(bab2a)ba(bab2a)ba)(ba(ba22它们实际上是利用乘法公式对多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法。（二）典型例题例1.把下列多项式分解因式：ab9a3)2(a25a5)1(222222y4xy4x)4(y16x25)3(解：)5a(a5a25a5)1(2（2）)b3a(a3ab9a32)y4x5)(y4x5()y4()x5(y16x25)3(222222222)y2x()y2(y2x2xy4xy4x)4(例2.把下列多项式分解因式：233223xy12x3)2(xyyx4yx4)1(分析：这两个多项式都较为复杂，因为每个字母的指数都不为1，这种题目首先观察有无公因式，先提公因式，然后再利用公式分解因式。解：)yxy4x4(xyxyyx4yx4)1(223223222)yx2(xy]yyx22)x2[(xy)y4x(x3xy12x3)2(2223)y2x)(y2x(x3])y2(x[x322例3.对下列多项式进行因式分解：1m94)2()xy(b2)yx(a4)1(232222y)xy(x4)4(xy8y16x)3(分析：（1）题中(y-x)3=[-(x-y)]3=-(x-y)3，所以这两项中都有2(x-y)2，可先提取公因式。（2）题观察“1”，1=12，故可用平方差公式分解。（3）题利用加法交换律得x2+8xy+16y2，符合完全平方公式。（4）题将多项式展开为4xy-4x2-y2=-4x2+4xy-y2=-（4x2-4xy+y2）符合完全平方公式，可用公式分解。解：3232)yx(b2)yx(a4)xy(b2)yx(a4)1()bybxa2()yx(2)]yx(ba2[)yx(222)1m32)(1m32(1)m32(1m94)2(22222222)y4x(y16xy8xxy8y16x)3(222222)yx2()yxy4x4(yx4xy4y)xy(x4)4(说明：（1）分解因式前一般不能直接分解的因式按某字母的降幂整理；（2）首项为“－”时可考虑用添括号法则使其变为“＋”；（3）运用公式时，应从项数、符号以及各项是否完全符合公式特征着手，不能滥用公式。（4）在分解因式时，首先看是否有公因式。例4.将下列多项式进行因式分解：2222222326)ba(ba4)3(ab2ba2a21)2(xx16)1(分析：（1）题可先提公因式，再用公式分解。（2）题也可先提公因式a21后再用完全平方公式。（3）题先用平方差公式后用完全平方公式。解：]1)x4[(x)1x16(xxx16)1(22224226)1x4)(1x2)(1x2(x)1x4)(1x4(x22222222223)b2a(a21)b4ab4a(a21ab2ba2a21)2()baab2)(baab2()ba()ab2()ba(ba4)3(222222222222222222)ba()ba()]bab2a([)ba(说明：（1）分解因式的步骤：一提（提取公因式），二套（套用公式），三继续（直至各因式都不能再分为止）。（2）多项式系数为分数或小数时也可考虑提取一个适当系数使其变为整数使计算方便。例5.将下列多项式进行因式分解：23)xy(10)yx(5)1(32)ab(12)ba(b18)2(9)ba(6)ba)(3(2分析：（1）中x-y与y-x互为相反数，利用添括号法则可使其变为相同因式，于是可以有公因式5(x-y)2。（2）考虑(a-b)2=(b-a)2，故两项中有公因式6(b-a)2。（3）中将(a+b)看作x，则原式变为x2-6x+9。解：)2yx()yx(5]2)yx[()yx(5)xy(10)yx(5)1(22233232)ba(12)ba(b18)ab(12)ba(b18)2()a2b5()ba(6)]ba(2b3[)ba(62222233)ba(2)ba(9)ba(6)ba)(3(22)3ba(]3)ba[(说明：在分解因式时，某些多项式可作为一个整体看作单独的一项，从而化繁为简，易于分解。例6.把下列各多项式分解因式：22)adbc()bdac)(1()x8y5(y)x2y)(yx2)(2()1xy(4)yx)(3(2分析：（1）题不符合公式，因而首先应该将两个括号打开。（2）题也不符合公式，也无公因式可提，因而将括号打开。（3）题初看不符合公式，但是调整后可用公式法分解因式。解：2222222222daabcd2cbdbabcd2ca)adbc()bdac)(1()dc)(ba()dc(b)dc(a)cbdb()daca(dacbdbca22222222222222222222222222xy8y5x4xy2yxy2)x8y5(y)x2y)(yx2)(2(22222222)yx(4]yxy2x[4xy8x4y44)yx(4)yx()1xy(4)yx)(3(222)2yx(说明：有的题目可能无法直接分解，需要对原多项式进行变形，变形后才可用公式或提公因式的方法分解。例7.已知：a+b+c=11，求2a2+2b2+2c2+4ab+4bc+4ac的值。解：bc2ac2ab2cba)cba(22222222)cba(2bc4ac4ab4c2b2a2故11cba又2421122故原式例8.已知m+n=9，mn=14，求m2-mn+n2的值。解：mn3nmn2mnmnm2222391439mn3)nm(22例9.已知a2+b2+2a-4b+5=0，求a、b。解：4b4b1a2a5b4a2ba222222)2b()1a(0)2b()1a(22故可知是非负数和又22)2b()1a(2b1a02b01a得得例10.求满足方程4x2-9y2=31的正整数解。解：31y9x422因为31)y3()x2(2231)y3x2)(y3x2(这里x、y为正整数，而31为质数，故仅有31y3x21y3x2)2(1y3x231y3x2)1(或31y3x21y3x2)4(1y3x231y3x2)3(或5y8x)4(5y8x)3(5y8x)2(5y8x)1(；；；分别解之可得：5y8xyx均为正整数，故只得、又例11.若a、b、c为△ABC的三边长，判断代数式(a2+b2-c2)2-4a2b2的值是正数，还是负数。解：22222222222)ab2()cba(ba4)cba(]c)ba][(c)ba[()ab2cba)(ab2cba(2222222222因为a、b、c为三角形三边长，故可知)2(c|ba|)1(cba0c)ba(c)ba(:)1(2222可知由0c)ba(c)ba(:)2(2222可知由0]c)ba][(c)ba[(2222故222222ba4)cba(代数式是负数［本课小结］1.本课主要学习因式分解的两种方法及其综合使用两种方法分解因式，在进行分解时一定按照因式分解的三个步骤来进行。2.运用因式分解可解一些相关的简单文字应用题，在做题时，首先考虑将其中可分解的多项式分解因式，然后根据各因式特点进行解题。【模拟试题】1.将下列各多项式分解因式：（1）2mn3mn12m6（2）22yxy6x9（3）by6ay3bx4ax2（4）22ay18axy12ax2（5）xy2yx4yx62332（6）)x1(c)1x(b2)x1(a3（7）nn21n2x5x25x30（8）2)ba3(36（9）222)yx(9)y31(x（10）22)cba(16)cba(81（11）22c9c)ab(12)ba(4（12）22222yx4)yx(2.若多项式kx6x2可以分解为)4x()2x(之积，试求k值。3.已知2)yx()1x(x2，求xy2yx22的值。4.若010b6ba2a22，求b3a的值。5.已知正整数a、b满足15ba22，求a、b的值。6.已知8yx满足5622yxxyyx，求22yx的值。7.若1z2y3x，求xzyzxyzyx222的值。【试题答案】1.因式分解：（1）)nn42(m32（2）2)yx3(（3）原式)by6bx4()ay3ax2()b2a)(y3x2()y3x2(b2)y3x2(a（4）原式)y9xy6x(a2222)y3x(a2（5）原式)2yx2xy3(xy222（6）原式)cb2a3)(1x(]cb2a3)[x1(（7）原式)1x5x6(x5n1nn（8）原式)ba36)(ba36(（9）原式22)]yx(3[)]y31(x[)332)(334()333)(333()](3)31()][(3)31([yxyxxyyxyxxyxyxxyxyxyxyxyx（10）原式22)]cba(4[)]cba(9[)c13b13a5)(c5b5a13()]cba(4)cba(9)][cba(4)cba(9[（11）原式22c9c)ba(12)ba(422)c3b2a2(]c3)ba(2[（12）原式2222)xy2()yx(222222)yx()yx()xy2yx)(xy2yx(2.解：8x6x)4x)(2x(2而8x6xkx6x22故8k3.解：因2)yx()1x(x2得2yxxx222yx而22222)yx(21)xy2yx(21xy2yx故2221xy2yx2224.解：由010b6ba2a22知0)9b6b()1a2a(22得0)3b()1a(22而0)1a(2，0)3b(2知01a，03b1a，3b故891b3a5.解：15ba22知：35)ba)(ba(又a、b为正整数，故ba为正整数，ba为正整数，且baba得3ba5ba1b4a6.解：56yxxyyx22得56)()(yxyxxy56)yx)(1xy(而8xy知8yx又80828xy2)yx(yx22227.解：)xz2yz2xy2z2y2x2(21xzyzxyzyx222222])xz()zy()yx[(21222又1z2y3x得2xz1zy1yx故原式3)411(21])2(11[21222