第七节多元隐函数求偏导

1第七节一、一元隐函数求导多元隐函数求偏导第七章二、二元隐函数求偏导三、隐函数的求导公式2定义.)(0),(（一元）隐函数称为确定的函数由方程所xyyyxF.)(形式称为显函数xfy0),(yxF)(xfy隐函数的显化回忆:一元隐函数不易显化或不能显化如何求导?方程两边直接关于x求导.一、一元隐函数求导直接求导法！3例1设0esin2xyyx,求xydd.解方程两边关于x求导,得，0)2(ecos2yyxyyyx解得.2cose2xyyyyx4定义.),(0),,(称为二元隐函数确定的函数由方程所yxfzzyxF.),(形式称为显函数yxfz0),,(zyxF),(yxfz隐函数的显化如果二元隐函数不易显化或不能显化时，方程两边也可以直接求导，求导的过程中把z视为x、y的二元函数z=f(x,y).二、二元隐函数求偏导5例2解由方程1543zxzyz确定隐函数),(yxzz，求)0,0(xz,)0,0(yz.视z为yx,的二元函数),(yxzz,方程两边关于x求偏导数,得y23z344(zxz)xzxz，054xzz解得，22543zxzyzxz51)0,0(xz当0yx时,1z，6，2543zxzyzyz将0yx,1z，代入上式得例2由方程1543zxzyz确定隐函数),(yxzz，求)0,0(xz,)0,0(yz.解类似的，视z为yx,的二元函数),(yxzz,方程两边关于y求偏导数,得yz323z34zxyzyz，054yzz解得.51)0,0(yz7设04222zzyx，求22xz.例3视z为yx,的二元函数),(yxzz,方程两边关于x求偏导,得解0422xzxzzx上式两边再次关于x求偏导,,02)(122222xzxzzxzzxzxz2)(1222解得.)2()2(322zxz02xzxzzxzxxz2,两边关于x求导也可以8三、隐函数的求导公式：，则若确定隐函数设方程0)(0),(.1yFxyyyxF.ddyxFFxy一元隐函数的求导公式：，则若确定隐函数设方程0),(0),,(.2zFyxzzzyxFzyzxFFyzFFxz,二元隐函数的求导公式9证：方程两边对x求导,由链式法则得.ddyxFFxy：，则若确定隐函数设方程0)(0),(.1yFxyyyxF.ddyxFFxyFyxx10：，则若确定隐函数设方程0),(0),,(.2zFyxzzzyxFzyzxFFyzFFxz,证：方程两边对x求导,由链式法则得xFzFxz0，解得zxFFxz.zyFFyz同样可得Fzyxyx11：，则若确定隐函数设方程0)(0),(.1yFxyyyxF.ddyxFFxy：，则若确定隐函数设方程0),(0),,(.2zFyxzzzyxFzyzxFFyzFFxz,注：.,,,.1看成常量，其他类似时暂时将故求，都是在对中间变量求导利用公式时，求zyFFFFxzyx负号！利用公式时，不要忘记.2采用直接求导法！求高阶导数时应阶导数利用公式求导只能求一,3.12，确定隐函数方程)(0),(xyyyxF.ddyxFFxy例4设,222xyx求.ddxy解,2),(22xyxyxF令则,22xFx,2yFy由公式得,xydd.1222yxyx13,yxFxyxy11lnlnyxxyxyFyxyyyFxxxy例5yxxy，求隐函数的导数dydx解设则所以1lnyxxFyxyy1lnyxyFxxxy，确定隐函数方程)(0),(xyyyxF.ddyxFFxy再求导！以前的做法：先取对数14设04222zzyx，求22xz.例3法2.上式两边再次关于x求偏导,22xz得.)2()2(322zxz设zzyxzyxF4),,(222),(0),,(yxzzzyxF确定隐函数方程zyzxFFyzFFxz,则,2xFxzxFFxzzx242zFz15利用隐函数的求导公式得xzFzxF2yzzxy2yzzxyyzFzyF2xzzxy2xzzxy解:令,则33(,,)3Fxyzzxyza23,3,33xyzFyzFxzFzxy例6设,求333zxyza2zxy分析：如果令,则由方程33(,,)3Fxyzzxyza(,,)0Fxyz确定了是的函数,求用隐函数求导法。但在求二阶混合偏导时，应采用直接求导法。zxy，zx1622()zyzxyyzxy222()()(2)()zzzyzxyyzzxyyzxy422223(2)()zzxyzxyzxy计算时，我们采用在方程两边同时对求偏导的方法,2zxyy并视为的二元函数,得z,xy(,)zxyxzFzxF2yzzxy17例7,zxyz设求.dz解因为,lnzzFxx,1zyyzF,ln1yyxzFzxz所以,lnln1yyzxzzxzzxx令.),,(zxyzzyxF,ln11yyzxzyyzzxzxxzyyzzzxzxdlnlnd1.dlnd11yyyzxyyzzxz18练习1.求由方程确定的隐函数的导数.练习2设,432222zyx求.,2yxzxz开始对答案19练习1.求由方程确定的隐函数解:令,1esin),(yxyyxFx,eyFxx则xyFycos的导数.ddyxxyFFxycosyxe20练习2设,432222zyx求.,2yxzxz解令.432),,(222zyxzyxF,2xFx,4yFy.6zFz所以xzzx62,3zxyz,3264zyzy21再求二阶导数，有xzyyxz2zyx13yzzx213zyzx3232.923zxy22小结：1.隐函数求导的两种方法直接求导法公式法2.注意两种方法的区别.3.两种方法至少要掌握一种.23作业：P88习题7.72.3.5.6.24一、填空题:1、设xyyxarctanln22,则dxdy___________________________.2、设zxyz,则xz___________________________,yz___________________________.二、设,32)32sin(2zyxzyx证明：.1yzxz练习题25三、如果函数),,(zyxf对任何t恒满足关系式),,(),,(zyxfttztytxfk,则称函数),,(zyxf为k次齐次函数,试证:k次齐次函数满足方程),,(zyxkfzfzyfyxfx.四、设.,3233yxzaxyzz求五、求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数:1、设203222222zyxyxz,求.,dxdzdxdy2、设),(),(2yvxugvyvuxfu，求.,xvxu（其中gf,具有一阶连续偏导数）26六、设函数)(xu由方程组0),(0),,(),(zxhzyxgyxfu所确定,且.,0,0dxduzhyg求(hgf,,均可微)七、设),,(txfy而t是由方程0),,(tyxF所确定的yx,的函数,求.dxdy八、设),(yxzz由方程),(xzyyxxF=0所确定,证明:xyzyzyxzx.27一、1、yxyx；2、yyxzzzzxxlnln1；3、yyxzzyzxzln11.四、3222242)()2(xyzyxxyzzzyxz.五、1、13,)13(2)16(zxdxdzzyzxdxdy；2、12211221)12)(1()12(gfgyvfxgfgyvfuxu,1221111)12)(1()1(gfgyvfxfufxgxv.练习题答案28六、zyxzyyxxxhghgfggffdxduzyxzyzxxzyxhghgfhgfhgf.七、tyttxxtfFFfFfFdxdy.