初中数学中考复习-函数知识点总结

1初中数学中考复习函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像)函数的基本知识：基本概念1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。*判断A是否为B的函数，只要看B取值确定的时候，A是否有唯一确定的值与之对应3、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。4、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．5.函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。6、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。7、函数的表示方法:列表法、解析式法、图象法2一次函数图象和性质【知识梳理】一、一次函数的基础知识1、定义：一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数当b=0时，y=kx＋b即y=kx，称为正比倒函数，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的一般形式：y=kx+b(k≠0)说明：①k不为零②x指数为1③b取任意实数2、解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0)3、图像：一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-kb，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,4、增减性（单调性）：k0，y随x的增大而增大（单调增）；k0，y随x而增大而减小（单调减）5、必过点：（0，b）和（-kb，0）：理由如下：y=kx+b中，⑴当x=o,时，y=？？所以，该函数经过（，）点⑵当y=o,时，x=？？所以，该函数经过（，）点所以，一次函数ykxb的图象是必经过（kb，0）和（0，b）两点的一条直线.，注：两点确定一条直线。画图时，可通过这两点来确定直线。6、一次函数图像的画法：两点法１、计算必过点（0，b）和（-kb，0）２、描点３、连线（从左到右光滑的直线）7、增减性：k0，y随x的增大而增大；k0，y随x增大而减小.8、倾斜度(只与k相关)：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.9、与y轴交点①当b0时直线与y轴交于原点上方（即y轴的正半轴）；②当b0时，直线与y轴交于原点的下方。（即y轴的负半轴）310、图像的上下平移（只与b相关）：直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.上加下减例如：y=2x+3,将直线向平移个单位；y=5x-6,将直线的图象向平移个单位11、一次函数ykxb的图象与性质12、两直线之间的位置关系（平行或相交）：（）若直线：：3111222lykxblykxb①平行：当时，；当时，与交于，点。kkllbbbllb121212120//()②相交：将两直线方程联立成一个方程组，1122{ykbykb，解得结果，即为交点。13、二元一次方程组与一次函数的关系：两元一次函数图象的交点的坐标即为所对应方程组的解。反比例函数图象和性质【知识梳理】一、反比例函数的基础知识1、定义：一般地，形如xky（k为常数，ok）的函数称为反比例函数。xky还可以写成kxy1b0b0b=0（正比例函数）k0经过：第一、二、三象限不经过：第四象限经过：第一、三、四象限不经过：第二象限经过：第一、三象限不经过：第二、四象限增减性（单调性）：图象从左到右上升，y随x的增大而增大，单调增k0经过第一、二、四象限不经过：第三象限经过第二、三、四象限不经过：第一象限经过第二、四象限不经过：第一、三象限增减性（单调性）：图象从左到右下降，y随x的增大而减小，单调减必过点：经过（kb，0）和（0，b）两点，正比例函数即是经过原点（0，0）42、解析式：xky（k为常数，）注：反比例函数解析式的特征：①等号左边是函数y，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k（也叫做比例系数k），分母中含有自变量x，且指数为1.②比例系数0k③自变量x的取值为一切非零实数。（反比例函数有意义的条件：分母≠0）④函数y的取值是一切非零实数。3、增减性（单调性）：k0，y随x的增大而减小（单调减）；k0，y随x增大而增大（单调增）4、反比例函数的图象：双曲线（1）图像的画法：描点法①列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）②描点（有小到大的顺序）③连线（从左到右光滑的曲线）（）对称性：是中心对称图形，对称中心是原点是轴对称图形，对称轴是直线和212()()yxyx（3）反比例函数xky（k为常数，0k）中自变量0x，函数值0y，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支（称为左、右支），延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。（）时两支曲线分别位于一、三象限且每一象限内随的增大而减小时两支曲线分别位于二、四象限且每一象限内随的增大而增大300kyxkyx（4）比例系数k的几何含义（右图）：反比例函数y＝kx(k≠0)中比例系数k的几何意义，即过双曲线y＝kx(k≠0)上任意一点P作x轴、y轴垂线，设垂足分别为A、B，则所得矩形OAPB的面积(阴影面积)为k.（由y＝kx变形可得：k=xy因为面积为正数，所以k取绝对值。）55、反比例函数性质如下表：二次函数图象和性质【知识梳理】一、二次函数的基础知识：1．定义：一般地，形如2yaxbxc（abc，，是常数，0a）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而bc，可以为零．二次函数的定义域（x的取值范围）：全体实数，R．2.解析式（表达式）：一般式：2yaxbxc（0a，abc，，是常数）：说明：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵abc，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．222244,-2424bacbbacbyaxbxcaaaa对于二次函数，经过配方变形为顶点式：y=a(x+)其顶点坐标为（，）补充：⑴二次函数解析式的表示方法（三种）①一般式：2yaxbxc（a，b，c为常数，0a）；②顶点式：2()yaxhk（a，h，k为常数，0a）；[抛物线的顶点P（h，k）]222244,-2424bacbbacbyaxbxcaaaa对于二次函数，经过配方变形顶点式：y=a(x+)其顶点坐标为（，）③两根式（交点式）：12()()yaxxxx（0a，1x，2x是抛物线与x轴两交点的横坐标）.[仅限于与x轴有两个交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线，即△≥0]其中221244,22bbacbbacxxaa(即一元二次方程求根公式)k的符号k＞0k＜0图像的大致位置经过象限第象限第象限增减性（单调性：单调区间内讨论）在每一象限内，从左到右看，y随x的增大而减小；（-∞，0）U（0，+∞）区间内，单调减在每一象限内,从左到右看y随x的增大而增大（-∞，0）U（0，+∞）区间内，单调增图像的对称性中心称图形，对称中心是原点；同时，也是轴对称图形，对称轴是直线y=x和直线y=-xoyxyxo6注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:22212444h=-,2422bacbbbacbbacxxaaaak=注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.⑵二次函数2yaxhk与2yaxbxc的比较从解析式上看，2yaxhk与2yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424bacbyaxaa，其中2424bacbhkaa，．3、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．4、二次函数2yaxbxc图象的画法五点绘图法：①利用配方法将二次函数2yaxbxc化为顶点式2()yaxhk，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标;②②然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0c，、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与x轴的交点10x，，20x，（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.3、二次函数的图像：抛物线（1）对称性：抛物线是轴对称图形。对称轴：直线2xba对称轴：直线=-,对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）（2）抛物线有一个顶点P，24-24bacbaa坐标为P（，）当-2ba=0时，P在y轴上；当Δ=24bac=0时，P在x轴上4.a.b.c与抛物线的关系（a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项）（1）a决定抛物线的开口方向和大小：y=5x2y=x2xy7yxO开口方向：a为正(a＞0)，开口朝上，有最小值；a为负(a＜0)，开口朝下，有最大值；开口大小：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。（2）a、b共同决定x2ba对称轴：直线=-ab的符号决定对称轴abx2的位置，分两种情况：①当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；②当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧。概括的说就是“左同右异”（3）常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c），分三种情况：⑴当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当0c时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总之，只要abc，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．6、抛物线与x轴交点个数Δ=24bac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。A（x1,0）和B（x2,0）Δ=24bac=0时，抛物线与x轴有1个交点。顶点P)0,2(abΔ=24bac＜0时，抛物线与x轴没有交点。配图：开口向上(开口向下，情况类似)7、类比一元二次方程的根的情况：特别地，二次函数（以下称函数）2yaxbxc当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即20axbxc此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。8、二次函数22424bacbyaxaa的图像和性质a＞0a＜0y△=0x△＜0yx△＞0yxABP8图象开口对称轴顶点坐标最值当x＝时，y有最值，y当x＝时，y有最值，y增减性在对称轴左侧y随x的增大而y随x的增大而在对称轴右侧y随x的增大而y随x的增大而9.应用：（1）最大面积；（2）最大利润；（3）