高等数学下-复旦大学出版-习题一

1习题一1.设{1},{2}00AxxBxx,求,ABAB,B\A.解:{1}{2}{1}000{1}{2}{2}000\{2}\{1}{12}{0}00ABxxxxxxAABxxxxxxBBAxxxxxx2.设{1,2,3,4,5,6},{1,2,3},{2,4,6},{1,3,5}XABC,求,ABCABC,CXA，CXA∪CXB,CXA∩CXB.解:{1,2,3}{2,4,6}{1,3,5}ABCX{1,2,3}{2,4,6}{1,3,5}ABCCXA=X\A={1,2,3,4,5,6}\{1,2,3}={4,5,6}CXB=X\B={1,2,3,4,5,6}\{2,4,6}={1,3,5}=CCXA∪CXB={4,5,6}∪{1,3,5}={1,3,4,5,6}CXA∩CXB={4,5,6}∩{1,3,5}={5}.3.判定下列命题是否正确?若不正确,请举出反例.(1)若A∪B=A∪C,则B=C;(2)若A∩B=A∩C,则B=C.解:(1)不正确.例如:A={1},B={1,2,3},C={2,3}有A∪B=A∪C={1,2,3},但B≠C.(2)不正确.例如:A={1,2},B={1},C={1,3}有A∩B=A∩C={1},但B≠C.4.判定下列映射哪些是满射,哪些是单射,哪些是一一映射?(1)A=(-∞,+∞),B=(-∞,+∞),3:|fxAyxB;(2)A=(-∞,+∞),B=[-1,1],:|sinfxAyxB;(3)A=(-∞,+∞),B=[0,+∞],:|exfxAyB.解:(1)12,xxA且12xx,有3312xx,即A中不同的元素的有不同的像,∴f是单射.又yB,有3yA,使3|yy,即B中每个元素都有原像,∴f是满射.综上所述,f是一一映射.2(2)[1,1]y,有arcsinyA,使arcsin|,yy即B中每个元素都有原像,∴f为满射.但,当12,xxA,且12xx,如12ππ,2π,66xxkk为整数时,有12sinsinxx,即A中不同的元素12,xx有相同的像,∴f不是单射.综上所述,f为满射,但不是单射.(3)12,xxA,且12xx,有12eexx,即A中不同的元素有不同的像,∴f是单射.又0,,e0xBxA,即B中的元素0没有原像,∴f不是满射.综上所述,f是单射.,但不是满射.5.下列函数是否相等,为什么?2222(1)(),();(2)sin(31),sin(31);1(3)(),()1.1fxxgxyxutxxfxgxxx解:(1)相等.因为两函数的定义域相同,都是实数集R;由2xx知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等.(2)相等.因为两函数的定义域相同,都是实数集R,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.(3)不相等.因为函数()fx的定义域是{,1}xxxR,而函数()gx的定义域是实数集R,两函数的定义域不同,所以两函数不相等.6.求下列函数的定义域211(1)4arctan;(2)3;lg(1)(3);(4)arccos(2sin).1yxyxxxxyyxx解:(1)要使函数有意义,必须400xx即40xx所以函数的定义域是(,0)(0,4].(2)要使函数有意义,必须30lg(1)010xxx即301xxx3所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1).(3)要使函数有意义,必须210x即1x所以函数的定义域是(,1)(1,1)(1,).(4)要使函数有意义,必须12sin1x即11sin22x即ππ2π2π66kxk或5π7π2π2π66kxk,(k为整数).也即ππππ66kxk(k为整数).所以函数的定义域是ππ[π,π]66kk,k为整数.7.求函数1sin,00,0xyxx的定义域与值域.解:由已知显然有函数的定义域为(-∞,+∞),又当0x时,1x可以是不为零的任意实数,此时,1sinx可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为[-1,1].8.没1()1xfxx,求1(0),(),().ffxfx解:10(0)110f,1()1(),1()1xxfxxx1111().111xxfxxx9.设1,10()1,02xfxxx,求(1)fx.解:1,1101,01(1).(1)1,012,13xxfxxxxx10.设()2,()lnxfxgxxx,求(()),(()),(())fgxgfxffx和(())ggx.解:()ln(())22,gxxxfgx(())()ln()2ln2(ln2)2,xxxgfxfxfxx()2(())22,(())()ln()lnln(ln).xfxffxggxgxgxxxxx411.证明:3()21fxx和31()2xgx互为反函数.证:由321yx解得312yx,故函数3()21fxx的反函数是31()2xyxR,这与31()2xgx是同一个函数,所以3()21fxx和31()2xgx互为反函数.12.求下列函数的反函数及其定义域:2531(1);(2)ln(2)1;1(3)3;(4)1cos,[0,π].xxyyxxyyxx解:(1)由11xyx解得11yxy,所以函数11xyx的反函数为1(1)1xyxx.(2)由ln(2)1yx得1e2yx,所以,函数ln(2)1yx的反函数为1e2()xyxR.(3)由253xy解得31(log5)2xy所以,函数253xy的反函数为31(log5)(0)2yxx.(4)由31cosyx得3cos1xy,又[0,π]x,故3arccos1xy.又由1cos1x得301cos2x,即02y,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数31cos,[0,π]yxx的反函数为3arccos1(02)yxx.13.判断下列函数的奇偶性:22(1)()11;(2)eesin.xxfxxxyx解:(1)()1()1()11()fxxxxxfx()11fxxx是偶函数.5(2)222222()eesin()eesin(eesin)()xxxxxxfxxxxfx函数22eesinxxyx是奇函数.14.判断下列函数在定义域内的有界性及单调性:2(1);(2)ln1xyyxxx解:(1)函数的定义域为(-∞,+∞),当0x时,有201xx,当0x时,有21122xxxx,故(,),x有12y.即函数21xyx有上界.又因为函数21xyx为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函数必有下界,因而函数21xyx有界.又由1212121222221212()(1)11(1)(1)xxxxxxyyxxxx知,当12xx且121xx时,12yy,而当12xx且121xx时,12yy.故函数21xyx在定义域内不单调.(2)函数的定义域为(0,+∞),10,0Mx且12;e0MxMx,使2lnxM.取012max{,}xxx,则有0012lnln2xxxxMM,所以函数lnyxx在定义域内是无界的.又当120xx时,有12120,lnln0xxxx故1211221212(ln)(ln)()(lnln)0yyxxxxxxxx.即当120xx时,恒有12yy,所以函数lnyxx在(0,)内单调递增.15.下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的?5122412(1)(1);(2)sin(12);1(3)(110);(4).1arcsin2xyxyxyyx解:(1)124(1)yx是由124,1yuux复合而成.(2)2sin(12)yx是由2,sin,12yuuvvx复合而成.6(3)512(110)xy是由152,1,10,wyuuvvwx复合而成.(4)11arcsin2yx是由1,1,arcsin,2yuuvvwwx复合而成.16.设()fx定义在(-∞,+∞)上,证明:(1)()()fxfx为偶函数;(2)()()fxfx为奇函数.证:(1)设()()()Fxfxfx,则(,)x,有()()()()FxfxfxFx故()()fxfx为偶函数.(2)设()()(),Gxfxfx则(,)x,有()()()[()()]()GxfxfxfxfxGx故()()fxfx为奇函数.17.某厂生产某种产品,年销售量为106件,每批生产需要准备费103元,而每件的年库存费为0.05元,如果销售是均匀的,求准备费与库存费之和的总费用与年销售批数之间的函数(销售均匀是指商品库存数为批量的一半).解:设年销售批数为x,则准备费为103x;又每批有产品610x件,库存数为6102x件,库存费为6100.052x元.设总费用为,则63100.05102yxx.18.邮局规定国内的平信,每20g付邮资0.80元,不足20g按20g计算,信件重量不得超过2kg,试确定邮资y与重量x的关系.解:当x能被20整除,即[]2020xx时,邮资0.802025xxy;当x不能被20整除时,即[]2020xx时,由题意知邮资0.80120xy.综上所述有,02000;2520200.80,02000.1202020xxxxyxxxx且且其中20x,120x分别表示不超过20x,120x的最大整数.719.证明:211(1)arcsinhln(1);(2)arctanhln,1121xxxxxxx证:(1)由eesinh2xxyx得2e2e10xxy解方程2e2e10xxy得2e1xyy,因为e0x,所以2e1xyy,2ln(1)xyy所以sinhyx的反函数是2arcsinhln(1)().yxxxx(2)由eetanheexxxxyx得21e1xyy,得1112ln,ln121yyxxyy;又由101yy得11y,所以函数tanhyx的反函数为11arctanhln(11).21xyxxx20.已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角=40°,如图所示.当过水断面ABCD的面积为定值S0时,求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关系式,并指明其定义域.图1-1解:011()(2cot)(cot)22ShADBChhBCBChBCh从而0cotSBChh.000()22cotsinsin2cos2cos40sinsin40LABBCCDABCDShhBChhSShhhh由00,cot0ShBChh得定义域为0(0,tan40)S.21.写出下列数列的通项公式,并观察其变化