高等数学换元法

•教学目的：不定积分换元法•教学重点：凑微分法•教学难点：第二类换元法第二讲换元法主视图换元法凑微分法第二类换元法一次式的有理根式二次式的二次根式凑微分公式问题xdx2cos,2sin21Cx解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令xt2,21dtdxxdx2cosdttcos21Ctsin21.2sin21Cx换元换元以后再还原求导数验证结果凑微分法设)(uf具有原函数，dxxxf)()]([)(])([xuduuf第一类换元公式（凑微分法）说明使用此公式的关键在于将凑dxxg)(.)()()]([)(duufdxxxfxu)(xu可导，则有换元公式定理1难易凑微分法证明证由复合函数求导法则有可见)]([xF是)()]([xxf的一个原函数，故公式(1)成立．公式（１）说明：当积分不便计算时，可考虑将g(x)化为的形式，那么duufxdxfdxxxfdxxg)()()]([)()]([)((2)对u积分求出)(uf的原函数)(uF，再以)(xu代回即得所求积分，这种方法称为凑微分法．)()]([')]([xxfxF)()]([xxfdxxg)(例1求.2sinxdx解（一）xdx2sin)2(2sin21xxd;2cos21Cx解（二）xdx2sinxdxxcossin2)(sinsin2xxd;sin2Cx解（三）xdx2sinxdxxcossin2)(coscos2xxd.cos2Cx例题例2求.231dxx解,)23(23121231xxxdxx231dxxx)23(23121duu121Culn21.)23ln(21Cxdxbaxf)(baxuduufa])([1一般地例题例3求.)ln21(1dxxx解dxxx)ln21(1)(lnln211xdx)ln21(ln21121xdxxuln21duu121Culn21.)ln21ln(21Cx例题例4求.)1(3dxxx解dxxx3)1(dxxx3)1(11)1(])1(1)1(1[32xdxx221)1(2111CxCx.)1(21112Cxx例题例5求.122dxxa解dxxa221dxaxa222111axdaxa2111.1Caxarctga例题例6求.25812dxxx解dxxx25812dxx9)4(12dxx13413122341341312xdx.3431Cxarctg例题例7求.11dxex解dxex11dxeeexxx11dxeexx11dxeedxxx1)1(11xxededx.)1ln(Cexx例题例8求.)11(12dxexxx解,1112xxxdxexxx12)11()1(1xxdexx.1Cexx例题例9：求22axdx解：原式dxaxaxa)11(21])()([21axaxdaxaxdacaxaxa)]ln()[ln(21caxaxa||ln21例题例10：求tgxxdx2cos解：原式ctgxtgxdtgx2解：原式=cxctgxdxxdx)4(21)4(sin21)]4sin(21[222)cos(sinxxdx求例11:例题例12求解.cos11dxxdxxcos11dxxxxcos1cos1cos1dxxx2cos1cos1dxxx2sincos1)(sinsin1sin122xdxdxx.sin1Cxctgx例题例13求解.cossin52xdxxxdxx52cossin)(sincossin42xxdx)(sin)sin1(sin222xdxx)(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.例题例14求解.2cos3cosxdxx)],cos()[cos(21coscosBABABA),5cos(cos212cos3cosxxxxdxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxx例题例15:求解（一）dxxsin1.cscxdxxdxcscdxxx2cos2sin2122cos212xdxxtg221xtgdxtgCxtg2ln.)ln(cscCctgxxctgxxxxxxxxxxxcscsincos12sin2cos22sin2sin22cos2sin2tan:注例题解（二）dxxsin1xdxcscdxxx2sinsin)(coscos112xdxxucosduu211duuu111121Cuu11ln21.cos1cos1ln21Cxx类似地可推出.)tanln(secsecCxxxdx例题思考：以下几种形式的积分，如何用凑微分法求积dxcbxax21cbxaxxdx2xdx3sinbxdxaxcossindxxbxa2222sincos1dxxa221dxax221dxax221dxcbxaxBAx2CarchxdxxCxdxx11;arcsin1122Carshxdxx112思考解例16设求.,cos)(sin22xxf)(xf令xu2sin,1cos2ux,1)(uufduuuf1)(,212Cuu.21)(2Cxxxf例题例17求解.2arcsin412dxxxdxxx2arcsin41222arcsin2112xdxx)2(arcsin2arcsin1xdx.2arcsinlnCx换元积分法技巧性强，需要多作练习，不断归纳，积累经验，才能灵活运用．例题通过以上例题，可以归纳出如下一般凑微分形式：凑微分公式)()(1)(baxdbaxfadxbaxf)0(a；)()(21)(222baxdbaxfaxdxbaxf；)0(axxxxdeefdxeef)()(；xdxfxdxxfln)(ln)(ln；xdxfxdxxfcos)(cossin)(cos；xdxfxdxxfsin)(sincos)(sin；xdxfxdxxftan)(tansec)(tan2；xdxfxdxxfarctan)(arctan1)(arctan2；xdxfdxxxf11112凑微分公式回主视图问题?125dxxx解决方法改变中间变量的设置方法.过程令txsin,costdtdxdxxx251tdtttcossin1)(sin25tdtt25cossin再用“凑微分”.)]([)()()]([)(1)()(1cxFctFdtttfdxxfxttx难易第二类换元法证：只要证右端的导数等于左端的被积函数dtdxtFdxdtdtdFxF1)()]([1)()]([ttf)(1t设)(tx是单调、可导函数，且0)(t)(,)()()]([1xtctFdtttf又设)()]([ttf具有原函数，即定理2.)]([)(1cxFdxxf则由复合函数与反函数的导数，有)]([tf).(xf第二类换元法第二类积分换元公式)(1)()]([)()2xtdtttfdxxf注：1）保证代换x=(t)的单调连续（有反函数）；代换x=(t)，一起换。利用第二类换元法求不定积分的关键在于选择适当的变量代换．第二类换元法常用于求无理函数的积分.注意Ⅰ．被积函数含有根式nbax)0(a例18求dxx121设tx1，即21tx，得tdtdx2．于是解:dttttdttdxx2222221121Cttdtt|2|ln422212Cxx12ln412注:一般地说，当被积函数含有形如:nbax的根号时，可作代换tbaxn有理根式积分例17:dxxx11．解:设ududxuxux2,1,12则，于是dxxx11uduuuduuu2)1(2112CxxCuu323)1(3232该例可利用凑微分法求解，而且更简洁：dxxx11dxxdxxxx)11(1)1()11(2Cxxxxdx3)1(32)1(1例题Ⅱ．被积函数含有22xa或22ax)0(a例18:求dxxa22)0(a解:被积函数含有22xa,为此可令taxsin化去根式．此时taxacos22tdtadxcosdttatdtatadxxa)2cos1(21coscos222Ctta2sin21212于是二次根式由于22t，故axtaxtsin,arcsinaxatt222sin1cos2222cossin22sinxaaxttt故Cxaxaxadxxa222222arcsin2tax22ax也可用图解法(右图)直接得到:axat22cos例题例19求解).0(122adxax令taxtantdtadx2secdxax221tdtata2secsec1tdtsecCtt)tanln(sectax22ax.ln22Caaxax2,2t例题例20:求解.423dxxx令txsin2tdtdxcos22,2tdxxx234tdtttcos2sin44sin223tdtt23cossin32tdttt22cos)cos1(sin32tdttcos)cos(cos3242Ctt)cos51cos31(3253t2x24x.4514345232Cxx例题例18求解).0(122adxax令taxsec2,0ttgtdttadxsecdxax221dtatgttgttasectdtsecCtgtt)ln(sectax22ax.ln22Caaxax例题说明(3):以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa可令;sintax22)2(xa可令;atgtx22)3(ax可令.sectax说明积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.说明(2)例19求dxxx251（三角代换很繁琐）21xt令,122tx,tdtxdxdxxx251tdttt221dttt1224Cttt353251.1)348(15