高等数学教案(高职高专)

Xxxxxxx学院（理论）教案系部：任课教师：教师职称：授课对象：课程学时：学年学期：-1-第1次课学时2授课题目（章，节）第一章函数与极限§1函数授课类型（请打√）理论课√□研讨课□习题课□复习课□其他□教学目的：1、理解函数的概念，掌握函数定义域、值域的求解方法；2、掌握函数的表示方法，会求解函数的奇偶性，周期性，单调性。教学方法、手段：讲授法，师生互动，板书，课件展示教学重点、难点：重点、定义域的求解；函数的几种特性；难点、定义域的求解；奇偶性的判断。教学内容及过程设计补充内容和时间分配一、新教程序言为什么要重视数学学习（1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量；（2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用；（3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术；（4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。二、讲授新课利用现实生活中的一个实例（匀速运动），引起学生的兴趣，进一步使学生想了解什么是函数，好奇心吸引学生们认真听课。顺利引出函数。1、函数的定义（课件展示）说明：函数是变量间的一种对应关系（单值对应），函数的表达式如下：Dxxfy,)((1)定义域：自变量的取值集合（D）。(2)值域：函数值的集合，即)(000xfyyxx。2、函数的二要素（板书）构成函数的两个重要因素：定义域和对应法则。如果两个函数定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数是相同的。（熟记）注意：为了使定义域在数学上有意义，要求，（１）分母不能为０。如1()fxx时（２）偶次根号下非负。如()fxx时（5分钟）（10分钟）（10分钟）（10分钟）-2-（３）对数的真数大于０。如()lnxfx（４）正切符号下的式子不等于Zkk,2。（５）余切符号下的式子不等于Zkk,。（６）反正弦、反余弦符号下的式子绝对值小于等于1。例1求函数421xy的定义域。例2确定函数)2ln(23)(2xxxxf的定义域。说明：根据学生们做题的情况，老师仔细深刻地讲解，加深学生对定义域求解的理解和掌握。3、函数的表示方法通过板书结合实例，简述函数的表示方法，并且给出函数让学生用不同的方法表示该函数，加强学生对函数的表示方法的理解。4、分段函数分段函数：对自变量的不同取值范围，函数用不同的表达式。例如：符号函数、狄立克莱函数、取整函数等。分段函数的定义域：不同自变量取值范围的并集。注意：求分段函数的函数值时，应先确定自变量取值的所在范围，再按照其对应的式子进行计算。点评：通过例题的讲解，加深学生对于分段函数的认识5、函数常见的几种基本特性（课件展示，板书辅助）函数常见的四种基本特性：奇偶性，周期性，单调性，有界性。讲解思路：（1）给出奇偶函数的图形，对比性地进行讲解；（2）通过例题讲解，示范最小正周期的求解方法（3）给出一些函数，提问学生函数是否有界。三、例题分析例1xysin的定义域为),(，值域为]1,1[。例2xy1的定义域为),1[，值域为),0[。例3设0,10,00,1)(xxxxf，求)2(f，)0(f和)2(f。解1)2(f，0)0(f，1)2(f。注意：求分段函数的函数值时，应先确定自变量取值的所在范围，再按照其对应的式子进行计算。四、课堂小结1.函数的定义及函数的二要素：定义域，对应法则；2.函数的特性：有界性，单调性，奇偶性，周期性；师生互动，提问学生本次课程相关的知识点问题。（10分钟）（10分钟）（10分钟）（15分钟）（10分钟）-3-思考题、作业题、讨论题：思考题：1、确定一个函数需要考虑哪几个基本要素？[定义域、对应法则]2、两个函数相同的条件有那些？[定义域、对应法则都相同时两函数相同]2、思考函数的几种特性的几何意义？[奇偶性、单调性、周期性、有界性]作业题：P22、1（1,3）；2（1,3）；3（1,3）课后总结分析：-4-第2次课学时2授课题目（章，节）第一章、函数与极限§2初等函数、数列的极限授课类型（请打√）理论课√□研讨课□习题课□复习课□其他□教学目的：1、了解几种基本初等函数，掌握复合函数的概念，会判断函数是否为复合函数；2、掌握数列的概念，会求解数列的极限以及判断数列极限的收敛性和发散性。教学方法、手段：以讲授为主，师生互动、习题训练为辅，板书、课件展示。教学重点、难点：重点：复合函数；数列的极限；难点：复合函数的判断；数列极限的求解；教学内容及过程设计补充内容和时间分配一、知识回顾（板书）采用提问的方式带领学生复习上次课的主要内容。二、讲授新课1.基本初等函数（课件展示，板书辅助）熟记：六种基本初等函数的定义域、值域、图像、性质。板书：结合图形，讲解六种基本初等函数的定义域，值域及性质。2.复合函数（板书给出）说明：(1)并非任意几个函数都能构成复合函数。如：ylnu，u2x就不能构成复合函数。(2)复合函数的定义域：各个复合体定义域的交集。(3)复合函数的分解从外到内进行；复合时，则直接代入消去中间变量即可。强调：在求两个函数的复合时，注意中间变量的取舍。板书：给出例题，让学生们做练习，加深学生对复合函数的理解和掌握。复合函数反映了事物联系的复杂性。3.初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合步骤所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数，叫做初等函数；否则，不是初等函数。说明：（1）一般分段函数都不是初等函数，但y︱x︱是初等函数；（2）初等函数的一般形成方式：复合运算、四则运算4.数列的概念（课件展示）板书：举出例子，配合讲解数列的概念，引起学生对于数列的极限的意识。5.数列的极限（课件展示）根据下面的一个例子引出数列极限的概念。半径r的圆内接正多边形面积)(nfSn，n为正多边形的边数，当n越来越大时，nS就越来越接近圆的面积，当n无限增大时，nS就无限接近圆的面积。这时，我们说nS以圆的面积为极限。（10分钟）（15分钟）（15分钟）(10分钟)（10分钟）（15分钟）-5-通过对以下例子的讲解，使学生更进一步地理解数列极限的概念，并且会运用数列极限的概念去解题。例如：当n时，nny21收敛于0；当n时，nyn11收敛于1；当n时，nyn无极限，发散；当n时，2)1(1nny时而取0，时而取1，震荡无极限，因而也是发散的。注意：数列极限的收敛性。三、课堂演练例1、分解下列复合函数；（1）21yx（2）sinxye例2、求下列数列的极限并说明其收敛性；1111,,,;23n11,1,,(1),;n2,4,6,,2,;n11142,,,,,;23nnn其通项分别为111(1),(1),2,nnnnnn。四、课堂小结1、初等函数的结构：由基本初等函数经过有限四则预算和复合步骤所构成；2、数列极限：直观描述，精确定义，几何意义3、数列的收敛性：如果一个数列有极限，则称该数列是收敛的，否则称为发散的（10分钟）（5分钟）思考题、作业题、讨论题：思考题：举例说明两个任意的函数能够复合成一个函数吗？作业题：P22:4；6；课后总结分析：-6-第3次课学时2授课题目（章，节）第一章函数与极限§3数列的左右极限授课类型（请打√）理论课√□研讨课□习题课□复习课□其他□教学目的：1、掌握函数极限的概念，运用函数极限的概念求函数的极限；2、理解函数左右极限的的概念，会利用函数左右极限判断函数的极限是否存在。教学方法、手段：讲授法，板书、课件展示。教学重点、难点：重点：函数的极限及函数极限的求法；难点：左极限与右极限。教学内容及过程设计补充内容和时间分配一、复习基本知识——数列极限1、数列的概念；2、数列极限的概念；二、讲授新课引例：函数xxf1)(的图形。老师通过对引例的讲解，使学生们对函数的极限有一个初步的认识，最后给出极限的定义。1、当x时，函数)(xf的极限（课件展示）（1）函数)(xf当x趋向于无穷（记为x）时的极限，记为Axfx)(lim或当x时，Axf)(。（熟记）（2）函数)(xf当x趋向于正无穷（记为x）时的极限，记为Axfx)(lim或当x时，Axf)(。（熟记）（3）函数)(xf当x趋向于负无穷（记为x）时的极限，记为Axfx)(lim或当x时，Axf)(。（熟记）Axfx)(lim的充分必要条件是Axfx)(lim且Axfx)(lim。（结论）注：xx,0无限增大时，函数值xxf1)(无限接近于0；xx,0无限减小时，函数值xxf1)(无限接近于0。2、当0xx时，函数)(xf的极限函数)(xf当x趋向于0x时的极限，记作（10分钟）（5分钟）（20分钟）（10分钟）-7-Axfxx)(lim0或)0()(xxAxf（熟记）3、函数左右极限的概念函数)(xf当0xx时的左极限，记为Axfxx)(lim0；函数)(xf当0xx时的右极限，记为Axfxx)(lim0；注：左右极限统称为函数()fx的单侧极限。函数)(xf的极限与左、右极限有以下关系：Axfxx)(lim0的充分必要条件是Axfxfxxxx)(lim)(lim00。注：我们主要利用此充要条件来验证某些函数主要是分段函数在分段点处的极限情况。三、课堂演练例1：求下列函数的极限（1）2332lim5xxxx；（2）32112lim()28xxx；（3）44lim31xxx；（4）220lim11xxx；例2：试求函数。1,1;10,;0,1)(2xxxxxxf在0x和1x处的极限。四、课堂小结（师生互动）1、函数的概念：趋于无穷时的极限概念，趋于正无穷、负无穷时的极限概念，趋于某一点的极限概念；2、函数的左右极限。3、极限是函数的一个局部性质。（15分钟）（20分钟）（10分钟）-8-思考题、作业题、讨论题：思考题：1、函数在趋于无穷和某一点时，函数的极限在定义上有什么区别？作业题：P221.7(1)-(10),1.8.课后总结分析：-9-第4次课学时2授课题目（章，节）第一章函数与极限§4极限的性质极限的运算授课类型（请打√）理论课√□研讨课□习题课□复习课□其他□教学目的：1、理解极限的惟一性、有界性、局部保号性、夹逼准则，以及极限性质的推论；2、熟练掌握函数极限的运算法则，并且会用极限的运算法则求函数的极限。教学方法、手段：讲授法，板书，课件展示。教学重点、难点：重点：会利用函数极限的运算法则求函数的极限；难点：函数的极限的运算法则。教学内容及过程设计补充内容和时间分配一、复习基础知识——函数的极限（课件展示）1、函数在不同情况下的极限的概念；（熟记）2、函数的左右极限。（理解）二、讲授新课1、极限的性质在讲极限的性质之前，给出两个新的概念：邻域和去心邻域。（了解）开区间00,xx称为点0x的邻域；开区间0000,,xxxx称为点0x的去心邻域，其中0。极限的性质：（了解）（1）惟一性；（2）有界性；（3）局部保号性；局部保号性的推论；（4）夹逼准则。根据函数的图形，一一讲解极限的性质，使学生们对函数的极限有更进一步的认识和理解。2、极限的运算（熟记）（1）极限的可加（减）性；（2）极限的可乘性；（3）极限的可除性。老师根据例题对上面极限的运算一一进行了讲解，通过对极限运算法则的讲解给出如下折推论。推论1常数可以提到极限号前，即CAxfCxCf)(lim)(lim。推论2若m为正整数，则mmmAxfxf)]([lim)(lim。注意：在不能直接用极限的四则运算法则时，可先考虑将函数适当变形，