高等数学教案

高等数学教案第1次课学科高等数学（一）课题函数周次5时数2授课班级1202114主要教学内容：1、集合与区间2、函数概念3、函数的几种特性4、反函数5、复合函数·初等函数教学目的和要求：1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2、理解函数的性质，掌握函数的四则运算。3、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。教学重点：1、函数的概念2、函数的特性3、复合函数教学难点：1、函数的概念2、函数的特性教学方法与手段：课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合使用实验仪器及教具：传统教学用具与多媒体教学内容及教学过程教学过程§1函数一、集合与区间1.集合概念集合(简称集):集合是指具有某种特定性质的事物的总体.用A,B,C….等表示.元素:组成集合的事物称为集合的元素.a是集合M的元素表示为aM.集合的表示:列举法:把集合的全体元素一一列举出来.例如A{a,b,c,d,e,f,g}.描述法:若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成,则M可表示为A{a1,a2,,an},M{x|x具有性质P}.例如M{(x,y)|x,y为实数,x2y21}.几个数集:N表示所有自然数构成的集合,称为自然数集.N{0,1,2,,n,}.N{1,2,,n,}.R表示所有实数构成的集合,称为实数集.Z表示所有整数构成的集合,称为整数集.Z{,n,,2,1,0,1,2,,n,}.Q表示所有有理数构成的集合,称为有理数集.},|{互质与且qpqZpqpNQ子集:若xA,则必有xB,则称A是B的子集,记为AB(读作A包含于B)或BA.如果集合A与集合B互为子集,AB且BA,则称集合A与集合B相等,记作AB.若AB且AB,则称A是B的真子集,记作AB.例如,NZQR.不含任何元素的集合称为空集,记作.规定空集是任何集合的子集.2.集合的运算设A、B是两个集合,由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B的并集(简称并),记作AB,即AB{x|xA或xB}.设A、B是两个集合,由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集(简称交),记作AB,即AB{x|xA且xB}.设A、B是两个集合,由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集(简称差),记作A\B,即A\B{x|xA且xB}.如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行,所研究的其他集合A都是I的子集.此时,我们称集合I为全集或基本集.称I\A为A的余集或补集,记作AC.集合运算的法则:设A、B、C为任意三个集合,则(1)交换律ABBA,ABBA;(2)结合律(AB)CA(BC),(AB)CA(BC);(3)分配律(AB)C(AC)(BC),(AB)C(AC)(BC);(4)对偶律(AB)CACBC,(AB)CACBC.(AB)CACBC的证明:x(AB)CxABxA且xBxAC且xBCxACBC,所以(AB)CACBC.直积(笛卡儿乘积):设A、B是任意两个集合,在集合A中任意取一个元素x,在集合B中任意取一个元素y,组成一个有序对(x,y),把这样的有序对作为新元素,它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积,记为AB,即AB{(x,y)|xA且yB}.例如,RR{(x,y)|xR且yR}即为xOy面上全体点的集合,RR常记作R2.3.区间和邻域有限区间:设ab,称数集{x|axb}为开区间,记为(a,b),即(a,b){x|axb}.类似地有[a,b]{x|axb}称为闭区间,[a,b){x|axb}、(a,b]{x|axb}称为半开区间.其中a和b称为区间(a,b)、[a,b]、[a,b)、(a,b]的端点,ba称为区间的长度.无限区间:[a,){x|ax},(,b]{x|xb},(,){x||x|}.区间在数轴上的表示:邻域:以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域,记作U(a).设是一正数,则称开区间(a,a)为点a的邻域,记作U(a,),即U(a,){x|axa}{x||xa|}.其中点a称为邻域的中心,称为邻域的半径.去心邻域U(a,):U(a,){x|0|xa|}二、函数概念1.函数概念定义设数集DR,则称映射f:DR为定义在D上的函数,通常简记为yf(x),xD,其中x称为自变量,y称为因变量,D称为定义域,记作Df,即DfD.应注意的问题:记号f和f(x)的含义是有区别的,前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则,而后者表示与自变量x对应的函数值.但为了叙述方便,习惯上常用记号“f(x),xD”或“y=f(x),xD”来表示定义在D上的函数,这时应理解为由它所确定的函数f.函数符号:函数yf(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母,例如“F”,“”等.此时函数就记作y(x),yF(x).函数的两要素:函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在R内,因此构成函数的要素是定义域Df及对应法则f.如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的.函数的定义域:函数的定义域通常按以下两种情形来确定:一种是对有实际背景的函数,根据实际背景中变量的实际意义确定.求定义域举例:求函数412xxy的定义域.要使函数有意义,必须x0,且x240.解不等式得|x|2.所以函数的定义域为D{x||x|2},或D(,2][2,]).单值函数与多值函数:在函数的定义中，对每个xD,对应的函数值y总是唯一的,这样定义的函数称为单值函数.如果给定一个对应法则,按这个法则,对每个xD,总有确定的y值与之对应,但这个y不总是唯一的,我们称这种法则确定了一个多值函数.例如,设变量x和y之间的对应法则由方程x2y2r2给出.显然,对每个x[r,r]，由方程x2y2r2,可确定出对应的y值,当xr或xr时,对应y0一个值;当x取(r,r)内任一个值时,对应的y有两个值.所以这方程确定了一个多值函数.对于多值函数,往往只要附加一些条件,就可以将它化为单值函数,这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支.例如,在由方程x2y2r2给出的对应法则中,附加“y0”的条件,即以“x2y2r2且y0”作为对应法则,就可得到一个单值分支221)(xrxyy;附加“y0”的条件,即以“x2y2r2且y0”作为对应法则,就可得到另一个单值分支222)(xrxyy.表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法(公式法),这在中学里大家已经熟悉.其中,用图形法表示函数是基于函数图形的概念,即坐标平面上的点集{P(x,y)|yf(x),xD}称为函数yf(x),xD的图形.图中的Rf表示函数yf(x)的值域.函数的例子:例.函数00||xxxxxy.称为绝对值函数.其定义域为D(,),值域为Rf[0,).例.函数010001sgnxxxxy.称为符号函数.其定义域为D(,),值域为Rf{1,0,1}.例设x为任上实数.不超过x的最大整数称为x的整数部分,记作[x].函数y[x]称为取整函数.其定义域为D(,),值域为RfZ.0]75[,1]2[,[]3,[1]1,[3.5]4.分段函数:在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.例。函数11102xxxxy.这是一个分段函数,其定义域为D[0,1](0,)[0,).当0x1时,xy2;当x1时,y1x.例如2212)21(f;212)1(f;f(3)134.三、函数的几种特性(1)函数的有界性设函数f(x)的定义域为D,数集XD.如果存在数K1,使对任一xX,有f(x)K1,则称函数f(x)在X上有上界,而称K1为函数f(x)在X上的一个上界.图形特点是yf(x)的图形在直线yK1的下方.如果存在数K2,使对任一xX,有f(x)K2,则称函数f(x)在X上有下界,而称K2为函数f(x)在X上的一个下界.图形特点是,函数yf(x)的图形在直线yK2的上方.如果存在正数M,使对任一xX,有|f(x)|M,则称函数f(x)在X上有界;如果这样的M不存在,则称函数f(x)在X上无界.图形特点是,函数yf(x)的图形在直线yM和yM的之间.函数f(x)无界,就是说对任何M,总存在x1X,使|f(x)|M.例如(1)f(x)sinx在(,)上是有界的:|sinx|1.(2)函数xxf1)(在开区间(0,1)内是无上界的.或者说它在(0,1)内有下界,无上界.这是因为,对于任一M1,总有x1:1101Mx,使Mxxf111)(,所以函数无上界.函数xxf1)(在(1,2)内是有界的.(2)函数的单调性设函数yf(x)的定义域为D,区间ID.如果对于区间I上任意两点x1及x2,当x1x2时,恒有f(x1)f(x2),则称函数f(x)在区间I上是单调增加的.如果对于区间I上任意两点x1及x2,当x1x2时,恒有f(x1)f(x2),则称函数f(x)在区间I上是单调减少的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.函数单调性举例:函数yx2在区间(,0]上是单调增加的,在区间[0,)上是单调减少的,在（,）上不是单调的.(3)函数的奇偶性设函数f(x)的定义域D关于原点对称(即若xD,则xD).如果对于任一xD,有f(x)f(x),则称f(x)为偶函数.如果对于任一xD,有f(x)f(x),则称f(x)为奇函数.偶函数的图形关于y轴对称,奇函数的图形关于原点对称,奇偶函数举例:yx2,ycosx都是偶函数.yx3,ysinx都是奇函数,ysinxcosx是非奇非偶函数.(4)函数的周期性设函数f(x)的定义域为D.如果存在一个正数l,使得对于任一xD有(xl)D,且f(xl)f(x)则称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期.周期函数的图形特点:在函数的定义域内,每个长度为l的区间上,函数的图形有相同的形状.四、反函数定义:设函数f:Df(D)是单射,则它存在逆映射f1:f(D)D,称此映射f1为函数f的反函数.按此定义,对每个yf(D),有唯一的xD,使得f(x)y,于是有f1(y)x.这就是说,反函数f1的对应法则是完全由函数f的对应法则所确定的.一般地,yf(x),xD的反函数记成yf1(x),xf(D).若f是定义在D上的单调函数,则f:Df(D)是单射,于是f的反函数f1必定存在,而且容易证明f1也是f(D)上的单调函数.相对于反函数yf1(x)来说,原来的函数yf(x)称为直接函数.把函数yf(x)和它的反函数yf1(x)的图形画在同一坐标平面上,这两个图形关于直线yx是对称的.这是因为如果P(a,b)是yf(x)图形上的点,则有bf(a).按反函数的定义,有af1(b),故Q(b,a)是yf1(x)图形上的点;反之,若Q(b,a)是yf1(x)图形上的点,则P(a,b)是yf(x)图形上的点.而P(a,b)与Q(b,a)是关于直线yx对称的.五、复合函数·