高等数学方明亮5.1 定积分的概念与性质

返回上页下页目录2020年3月7日星期六1高等数学多媒体课件牛顿（Newton）莱布尼兹（Leibniz）返回上页下页目录2020年3月7日星期六2第五章定积分及其应用（DefiniteIntegralsanditsApplication）积分学不定积分定积分返回上页下页目录2020年3月7日星期六3主要内容第一节定积分的概念与性质第二节微积分基本公式第三节定积分的换元法和分部积分法第四节反常积分第五节定积分的元素法及其应用返回上页下页目录2020年3月7日星期六4第一节定积分的概念与性质第五章（ConceptionsandPropertiesofDefiniteIntegrals）一、引例二、定积分的定义三、定积分的性质返回上页下页目录2020年3月7日星期六5一、引例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.?A()yfx矩形面积梯形面积返回上页下页目录2020年3月7日星期六61xix1ixayo1)大化小.在区间[a,b]中任意插入n–1个分点bxxxxxann1210用直线ixx将曲边梯形分成n个小曲边梯形;2)常代变.在第i个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得解决步骤:返回上页下页目录2020年3月7日星期六7niiAA1niiixf1)(4)取极限.令则曲边梯形面积niiAA10lim01lim()niiifx3)近似和.1xix1ixayo返回上页下页目录2020年3月7日星期六8设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程s.解决步骤:1)大化小.将它分成在每个小段上物体经2)常代变.得已知速度n个小段过的路程为2.变速直线运动的路程返回上页下页目录2020年3月7日星期六94)取极限.上述两个问题的共性:•解决问题的方法步骤相同:“大化小,常代变,近似和,取极限”•所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限3)近似和.返回上页下页目录2020年3月7日星期六10abxo二、定积分定义任一种分法,210bxxxxan任取总趋于确定的极限I,则称此极限I为函数在区间上的定积分,1xix1ixbaxxfd)(即此时称f(x)在[a,b]上可积.记作返回上页下页目录2020年3月7日星期六11baxxfd)(iniixf10)(lim积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间],[ba定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即baxxfd)(battfd)(返回上页下页目录2020年3月7日星期六12定理1定理2且只有有限个间断点可积的充分条件:定理3若函数()fx在[,]ab上单调应当指出的是，由于初等函数在其定义区间内是连续的，故初等函数在其定义域内的闭区间上可积.定积分的定义很重要，今后学习二重、三重积分、曲线与曲面积分时，还会遇到结构上与表述上都类似的定义，它们统称为黎曼积分.返回上页下页目录2020年3月7日星期六13o1xyni例1（习题5－14）利用定义计算定积分解:将[0,1]n等分,分点为2xy取iiiixxf2)(则32niiinixf)(12311nini31(1)(21)61nnnniniixxx120102limdnlim（自学课本例1）返回上页下页目录2020年3月7日星期六14曲边梯形面积曲边梯形面积的负值abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面积的代数和定积分的几何意义:返回上页下页目录2020年3月7日星期六15例2求定积分120(1(1))dxxx的值.解：120(1(1))dxxx表示圆2211(0)xyy的一部分与直线yx所围成的图形的面积，1oxy因此，1201(1)dxxx2π411112π142yx返回上页下页目录2020年3月7日星期六16三、定积分的性质（设所列定积分都存在）0d)(aaxxfbaxd.2(k为常数)bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)]()([.4证:iiinixgf)]()([lim10左端iiniiinixgxf)(lim)(lim1010=右端ab返回上页下页目录2020年3月7日星期六17证:当bca时,因在上可积,所以在分割区间时,可以永远取c为分点,于是],[)(baiixf],[)(bciixfabc0令baxxfd)(bcxxfd)(返回上页下页目录2020年3月7日星期六18abc则有caxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(当a,b,c的相对位置任意时,例如返回上页下页目录2020年3月7日星期六190)(1iinixf则证:baxxfd)(0)(lim10iinixf推论1若在[a,b]上则6.若在[a,b]上返回上页下页目录2020年3月7日星期六20证:)(xf)(xf)(xf)(baxxfxxfxxfbababad)(d)(d)(即xxfxxfbabad)(d)(7.设,)(min,)(max],[],[xfmxfMbaba则)(ba推论2积分估值定理返回上页下页目录2020年3月7日星期六21证:例3（补充题）试证:在区间[0,1]上单调递增，利用积分估值定理，得1110001()dxdfxexdxdbaxba（自学课本例3～4）返回上页下页目录2020年3月7日星期六22则至少存在一点使证:,,],[)(Mmbaxf别为上的最小值与最大值分在设则由性质7可得根据闭区间上连续函数介值定理,上至少存在一在],[ba使因此定理成立.8.积分中值定理返回上页下页目录2020年3月7日星期六23oxbay)(xfy•可把.],[)(上的平均值在理解为baxf故它是有限个数的平均值概念的推广.•积分中值定理对因说明:返回上页下页目录2020年3月7日星期六24内容小结1.定积分定义——乘积和式的极限2.定积分的几何意义3.定积分存在的3个充分性条件4.定积分的8条基本性质课后练习习题5-11（2）（4）；7；8（利用定积分几何意义）；9返回上页下页目录2020年3月7日星期六25思考与练习01xn1n2nn11.用定积分表示下述极限:解:10sinlimnknnkI0dsin1xxnn2nn)1(0x或)(sinlim10nknnkI10dsinxx返回上页下页目录2020年3月7日星期六26如何用定积分表示下述极限提示:nknnkI1sinlimnnnnsin1limnnnn)1(sin1lim0dsin1xx极限为0!思考:返回上页下页目录2020年3月7日星期六272.（课本习题5－19）设)(xf在[0，1]上连续且单调递减，试证对任何)1,0(a有axxfaxxf010d)(d)(.证明：010()dd()afxxafxx010()d())dd(aaaafxxafxxfxx10(1)()d()daaafxxafxx(1)()(1)()aafaaf0,1aa（）(1)[()()]aaff0故原式得证.单调递减()fx