高考一轮复习_直线与圆的方程

第七章直线与圆的方程§7.1直线的方程1.设直线l与x轴的交点是P，且倾斜角为,若将此直线绕点P按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为+45°，则（）A.0°≤＜180°B.0°≤＜135°C.0°＜≤135°D.0°＜＜135°答案D2.（2008·全国Ⅰ文）曲线y=x3-2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（）A.30°B.45°C.60°D.120°答案B3.过点M（-2，m），N（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为()A.1B.4C.1或3D.1或4答案A4.过点P（-1，2）且方向向量为a=（-1，2）的直线方程为（）A.2x+y=0B.x-2y+5=0C.x-2y=0D.x+2y-5=0答案A5.(2009·株州模拟)一条直线经过点A（-2，2），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为.答案x+2y-2=0或2x+y+2=0例1已知三点A（1，-1），B（3，3），C（4，5）.求证：A、B、C三点在同一条直线上.证明方法一∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5∴kAB=1313=2,kBC=3435=2，∴kAB=kBC∴A、B、C三点共线.方法二∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5∴|AB|=25，|BC|=5，|AC|=35∴|AB|+|BC|=|AC|，即A、B、C三点共线.方法三∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5∴AB=（2，4），BC=（1，2），∴AB=2BC.又∵AB与BC有公共点B，∴A、B、C三点共线.例2已知实数x,y满足y=x2-2x+2(-1≤x≤1).基础自测试求：23xy的最大值与最小值.解由23xy的几何意义可知，它表示经过定点P（-2，-3）与曲线段AB上任一点（x,y)的直线的斜率k,如图可知：kPA≤k≤kPB,由已知可得：A（1，1），B（-1，5），∴34≤k≤8，故23xy的最大值为8，最小值为34.例3求适合下列条件的直线方程：（1）经过点P（3，2），且在两坐标轴上的截距相等；（2）经过点A（-1，-3），倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍.解（1）方法一设直线l在x,y轴上的截距均为a,若a=0，即l过点（0，0）和（3，2），∴l的方程为y=32x，即2x-3y=0.若a≠0，则设l的方程为1byax，∵l过点（3，2），∴123aa，∴a=5，∴l的方程为x+y-5=0,综上可知，直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.方法二由题意知，所求直线的斜率k存在且k≠0,设直线方程为y-2=k(x-3),令y=0，得x=3-k2,令x=0,得y=2-3k,由已知3-k2=2-3k，解得k=-1或k=32,∴直线l的方程为：y-2=-（x-3）或y-2=32(x-3),即x+y-5=0或2x-3y=0.（2）由已知：设直线y=3x的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为2.∵tan=3,∴tan2=2tan1tan2=-43.又直线经过点A（-1，-3），因此所求直线方程为y+3=-43(x+1),即3x+4y+15=0.例4（12分）过点P（2，1）的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使：（1）△AOB面积最小时l的方程；（2）|PA|·|PB|最小时l的方程.解方法一设直线的方程为1byax(a＞2,b＞1),由已知可得112ba.2分（1）∵2ba12≤ba12=1，∴ab≥8.∴S△AOB=21ab≥4.4分当且仅当a2=b1=21,即a=4,b=2时，S△AOB取最小值4，此时直线l的方程为24yx=1,即x+2y-4=0.6分（2）由a2+b1=1,得ab-a-2b=0,变形得(a-2)(b-1)=2,|PA|·|PB|=22)01()2(a·22)1()02(b=]4)1[(]1)2[(22ba≥)1(4)2(2ba.10分当且仅当a-2=1,b-1=2,即a=3,b=3时，|PA|·|PB|取最小值4.此时直线l的方程为x+y-3=0.12分方法二设直线l的方程为y-1=k(x-2)(k＜0),则l与x轴、y轴正半轴分别交于A0,12k、B（0，1-2k）.（1）S△AOB=21k12（1-2k）=21×)1()4(4kk≥21（4+4）=4.当且仅当-4k=-k1,即k=-21时取最小值，此时直线l的方程为y-1=-21(x-2),即x+2y-4=0.6分（2）|PA|·|PB|=22441)1(kk=84422kk≥4,当且仅当24k=4k2,即k=-1时取得最小值，此时直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.12分·1.设a，b，c是互不相等的三个实数，如果A（a，a3）、B（b，b3）、C（c，c3）在同一直线上，求证：a+b+c=0.证明∵A、B、C三点共线，∴kAB=kAC∴cacababa3333，化简得a2+ab+b2=a2+ac+c2∴b2-c2+ab-ac=0，（b-c）（a+b+c）=0∵a、b、c互不相等，∴b-c≠0，∴a+b+c=0.2.（2009·宜昌调研）若实数x,y满足等式(x-2)2+y2=3，那么xy的最大值为（A.21B.33C.23D.3答案D3.（1）求经过点A（-5，2）且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程；（2）过点A（8，6）引三条直线l1,l2,l3，它们的倾斜角之比为1∶2∶4，若直线l2的方程是y=43x,求直线l1,l3的方程.解（1）①当直线l在x、y轴上的截距都为零时，设所求的直线方程为y=kx,将（-5，2）代入y=kx中，得k=-52，此时，直线方程为y=-52x,即2x+5y=0.②当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为ayax2=1，将（-5，2）代入所设方程，解得a=-21，此时，直线方程为x+2y+1=0.综上所述，所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0.（2）设直线l2的倾斜角为,则tan=43.于是tan2=sincos1=3153541,tan2=724)43(1432tan1tan222,所以所求直线l1的方程为y-6=31(x-8),即x-3y+10=0,l3的方程为y-6=724(x-8),即24x-7y-150=0.4.直线l经过点P（3，2）且与x，y轴的正半轴分别交于A、B两点，△OAB的面积为12，求直线l的方程.解方法一设直线l的方程为1byax（a＞0,b＞0）,∴A(a,0),B(0,b),∴.123,24baab解得.4,6ba∴所求的直线方程为46yx=1,即2x+3y-12=0.方法二设直线l的方程为y-2=k(x-3),令y=0,得直线l在x轴上的截距a=3-k2,令x=0,得直线l在y轴上的截距b=2-3k.∴k23(2-3k)=24.解得k=-32.∴所求直线方程为y-2=-32(x-3).即2x+3y-12=0.一、选择题1.直线xcos+y-1=0(∈R)的倾斜角的范围是（）A.，0B.43,4C.4,4D.,434,0答案D2.已知直线l过点（a,1)，（a+1,tan+1),则（A.一定是直线lB.一定不是直线lC.不一定是直线lD.180°-一定是直线l答案C3.已知直线l经过A（2，1），B（1，m2）（m∈R）两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是（）A.，0B.,24,0C.40，D.，22,4答案B4.过点（1，3）作直线l，若经过点（a，0）和（0，b），且a∈N*，b∈N*，则可作出的l的条数为（）A.1B.2C.3D.4答案B5.经过点P（1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为（A.x+2y-6=0B.2x+y-6=0C.x-2y+7=0D.x-2y-7=0答案B6.若点A（2，-3）是直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共点，则相异两点（a1，b1）和（a2，b2）所确定的直线方程是（A.2x-3y+1=0B.3x-2y+1=0C.2x-3y-1=0D.3x-2y-1=0答案A二、填空题7.（2008·浙江理，11）已知a＞0,若平面内三点A（1，-a），B（2，a2），C（3，a3）共线，则a=.答案1+28.已知两点A（-1，-5），B（3，-2），若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则l的斜率是.答案31三、解答题9.已知线段PQ两端点的坐标分别为（-1，1）、（2，2），若直线l：x+my+m=0与线段PQ有交点，求m的取值范围.解方法一直线x+my+m=0恒过A（0，-1）点.kAP=1011=-2，kAQ=2021=23，则-m1≥23或-m1≤-2，∴-32≤m≤21且m≠0.又∵m=0时直线x+my+m=0与线段PQ有交点，∴所求m的取值范围是-32≤m≤21.方法二过P、Q两点的直线方程为y-1=1212(x+1),即y=31x+34,代入x+my+m=0,整理，得x=-37mm.由已知-1≤-37mm≤2,解得-32≤m≤21.10.已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：（1）过定点A（-3，4）；（2）斜率为61.解（1）设直线l的方程是y=k(x+3)+4,它在x轴，y轴上的截距分别是-k4-3，3k+4，由已知，得（3k+4）（k4+3）=±6，解得k1=-32或k2=-38.直线l的方程为2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.（2）设直线l在y轴上的截距为b,则直线l的方程是y=61x+b,它在x轴上的截距是-6b,由已知，得|-6b·b|=6，∴b=±1.∴直线l的方程为x-6y+6=0或x-6y-6=0.11.已知两点A（-1，2），B（m，3）.（1）求直线AB的方程；（2）已知实数m∈13,133，求直线AB的倾斜角的取值范围.解（1）当m=-1时，直线AB的方程为x=-1,当m≠-1时，直线AB的方程为y-2=11m(x+1).（2）①当m=-1时，=2;②当m≠-1时，m+1∈3,00,33，∴k=11m∈（-∞，-3］∪,33，∴∈32,22,6.综合①②知，直线AB的倾斜角∈32,6.12.过点P（3，0）作一直线，使它夹在两直线l1：2x-y-2=0与l2:x+y+3=0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程.解方法一设点A（x，y）在l1上，由题意知0232BByyxx，∴点B（6-x，-y），解方程组03)()6(022yxyx，得316311yx，∴k=833110316.∴所求的直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.方法二设所求的直线方程为y=k(x-3),则022)3(yxxky,解得24223kkykkxAA,由03)3(yxxky,解得16133kkykkxBB.∵P(3,0)是线段AB的中点，∴yA+yB=0，即24kk+16kk=0，∴k2-8k=0，解得k=0或k=8.又∵当k=0时，xA=1,xB=-3,此时32312BAxx,∴k=0舍去，∴所求的直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.§7.2两直线的位置关系1.如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，那么实数a等于（A.-3B.-6C.-