高等数学经典例题

).,(,),(322yxfyxyxyxf求设例，则令解vyxuyx,,1,1vuyvuvx.1)1(),(,)1()1(),(2222yyxyxfvvuvuf例6求证证01sin)(lim222200yxyxyx01sin)(2222yxyx22221sinyxyx22yx,0,当时，22)0()0(0yx01sin)(2222yxyx原结论成立．.)(lim922)0,0(),(xyyxyx求例而解,)()ln(2222yxxyeyx)ln()()ln(22222222yxyxyxxyyxxy)ln()(lim2222)0,0(),(yxyxyxtyx22令tttlnlim0ttt1lnlim0罗必达法则011lim20ttt从而，又122yxxy,0)ln(lim22)0,0(),(yxxyyx.1)(lim022)0,0(),(eyxxyyx故.11lim10)0,0(),(yxxyyx求例先将函数变形解,11111xyyxxyyxxy,21111lim)0,0(),(xyyx,,yxxy只须考察故所求极限是否存在A.多元函数微分法及其应用有时趋于沿当,)0,0(),(xyyx,02limlimlim2000)0,0(),(xxyxxyyxxyxxyxyx,1)(limlimlim22000)0,0(),(2xxxxyxxyyxxyxxxyxyx又,lim)0,0(),(不存在故yxxyyx.11lim)0,0(),(不存在从而yxxyyx例4设13323xyxyyxz，求22xz、xyz2、yxz2、22yz及33xz.解xz,33322yyyxyz;9223xxyyx22xz,62xy22yz;1823xyx33xz,62yxyz2.19622yyxyxz2,19622yyx.222yxeI.,22xyzyxz均有在以上二例中问题：混合偏导数都相等吗？.2,),(52222202yfxyyxfxfyxIdteyxfxyt求设例,22,,222222223222yxyxyxyxexyexyyxfxeyfyexf解,222322yxeyxyf,2122222yxeyxyxf）（的对称性得出关于变量可由yxyxf,),(偏微分B..lim0dtdvvzdtduuztzdtdzt上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdzuvwtz以上公式中的导数称为全导数全导数..dtdz)2(例1设vezusin，而xyu，yxv，求xz和yz.解xzuzxuvzxv1cossinveyveuu),cossin(vvyeuyzuzyuvzyv1cossinvexveuu).cossin(vvxeu.,),,sin(2222yxzfyxyefzx求有二阶连续偏导数设例,),(,,sin22vufzyxvyeux则令解uvxzy图示：,2sin21xfyefxzx,),(,),(,2121vuvuffuvuff记为表达方便起见uvxy21ff，)2sin(212xfyefyyxzxyefyeyfyefxxxcossin)2cos(11211]2cos[22221yfyefxx12112]cossin[2sincosfyxyyefyyexx.cos4122fyefxyx2112ffC多元复合函数的求导法则.,,),,,(32yxzfxeuyxufzy求有二阶连续偏导数设例解,21fefxzy)(212fefyyxzy232111311)(fxefefefxefyyyy.1232113112feffxefefxeyyyyzxuyxy，，21ff.,),()(142yxzfyxyxyfxz求有二阶连续偏导数设例.,,22偏导数计算的次序来计算混合故可选择容易两者相等连续时与当xyzyxz分析)()(,)(),(),(1),(2xhyygxyxzyxyyxhxyfxyxg则记解)()(,)(),(),(1),(2xhyygxyxzyxyyxhxyfxyxg则记解))(())((yxyyxyfx).()()(yxyyxxyfy.)()),,(,()(,3,2,1)1,1(,)1,1(),(513)1,1()1,1(xxdxdxxfxfxyfxffyxfz求且处可微在点设例则求先求,1)1,1())1,1(,1()1(fff[分析与求解]),1(3)1()1(3)(213xxdxd).1(归结为求由复合函数求导法：)],,(),())[,(,()),(,()(2121xxfxxfxxfxfxxfxfx)]1,1()1,1())[1,1(,1())1,1(,1()1(2121ffffff,17)32(32.51173)(13xxdxdD..,222xzxyzez求设例则设解,),,(xyzezyxFz,,,xyeFxzFyzFzzyxxyeyzxyeyzxzzz得由)4(222)()()()(xyeyzeyzxyezyxyeyzxxzzxzzxz.)(2232232xyeezyzxyzeyzzz代入化简将xyeyzzzx例7已知02zxyeze，求xz和yz.解,0)2(zxyezed,02)(dzedzxydezxy)()2(ydxxdyedzexyzdyexedxeyedzzxyzxy)2()2(xz,2zxyeyeyz.2zxyexe.,0,,,sin,0),,(),,,(32dxduzfxyzexzyxfuy求且都有一阶连续偏导数其中设例.导的综合题求导与抽象复合函数求的由方程式确定的隐函数本题实质上已经变成了分析.,,0,sin,0),,(2的复合函数是从而的函数都是知由xuxzyzxyzexy，由),,(zyxfuzxuxy图示：,1dxdzzfdxdyyfxfdxdu,cosxdxdy而.,,0),,(2的函数都是注意求偏导按隐函数求导法各项对由xzyxzexdxdzy,0cos2321dxdzxexy),cos2(1213xexdxdzy).cos2(1cos213xexzfxyfxfdxduy故E.隐函数的求导公式.,,,0),,(),()(),(6dxdzFfzyxFyxxfzxzzxyy求续偏导数和一阶连分别具有一阶连续导数其中所确定的函数是由设例求导得的两端对在解xzyxFyxxfz0),,(),(.0),1()(dxdzFdxdyFFdxdyfxyxfdxdzzyx.)(,zyxyFfxFFfxFfxfdxdzdxdy得消去:)(),(,),,(7分别由以下两式确定又有一阶连续偏导设例xzzxyyzyxfu,sin,20dtttexyezxxxy.dxdu求,dxdzzfdxdyyfxfdxdu解求导得两边对由xxyexy2,0)()(dxdyxydxdyxyexy，xydxdy)7(求导得两边对由xdtttezxx0sin),1()()sin(dxdzzxzxex，)sin()(1zxzxedxdzx.]sin1[zfzxzxeyfxyxfdxdux）（）（得将其代入)7(六、设函数)(xu由方程组0),(0),,(),(zxhzyxgyxfu所确定,且.,0,0dxduzhyg求(hgf,,均可微)七、设),,(txfy而t是由方程0),,(tyxF所确定的yx,的函数,求.dxdy八、设),(yxzz由方程),(xzyyxxF=0所确定,证明:xyzyzyxzx.F.例2求曲线6222zyx，0zyx在点)1,2,1(处的切线及法平面方程.解1直接利用公式;解2将所给方程的两边对x求导并移项，得1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,zyxzdxdy,zyyxdxdz看待)(求导时诸变量均平等,,,,(个自由未知量一所以有两个变量函数三个变量这里两个方程注一旦均可取为自变量的对称关系由,,,,zyx函数求导时的函数另两个变量即为该变量取定自变量,,,).法则求导变量应按复合函数求导由此得切向量},1,0,1{T所求切线方程为,110211zyx法平面方程为,0)1()2(0)1(zyx0zx,0)1,2,1(dxdy,1)1,2,1(dxdz例3求曲面2132222zyx平行于平面064zyx的各切平面方程.解设为曲面上的切点,),,(000zyx切平面方程为0)(6)(4)(2000000zzzyyyxxx依题意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx.2000zyx因为是曲面上的切点，),,(000zyx,10x所求切点为满足方程),2,2,1(),2,2,1(0)2(12)2(8)1(2zyx2164zyx0)2(12)2(8)1(2zyx2164zyx切平面方程(1)切平面方程(2)G.多元函数微分学的几何应用解法三用全微分不变性求各点试证曲面可微设例0),(,),(4bzcyazcxFvuF.量处的法线总垂直于常向),,(),,(),,(zyxbzcyazcxFzyxf则曲面上一点令证处的法向量为),,,(),,(2121FbFaFcFcfffnzyx,0),,(2121FcbFcaFbcFaccban).,,(cba于常向量即任一点的法向量垂直例2求函数22),(yxyxyxf在点（1，1）沿与x轴方向夹角为的方向射线l的方向导数.并问在怎样的方向上此方向导数有（1）最大值；（2）最小值；（3）等于零？解sin)1,1(cos)1,1()1,1(yxfflf由方向导数的计算公式知,sin)2(cos)2()1,1()1,1(xyyxsincos2sincos),4sin(2故（1）当4时，方向导数达到最大值2;（2）当45时，方向导数达到最小值2;（3）当43和47时，方向导数等于0..,,,公