高等数学经典方法与典型例题归纳

12014年山东省普通高等教育专升本考试2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义高职高专类高等数学经典方法及典型例题归纳—经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务—理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程2013年5月17日星期五曲天尧编写2一、求极限的各种方法1．约去零因子求极限例1：求极限11lim41xxx【说明】1x表明1与x无限接近，但1x，所以1x这一零因子可以约去。【解】6)1)(1(lim1)1)(1)(1(lim2121xxxxxxxx=42．分子分母同除求极限例2：求极限13lim323xxxx【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】3131lim13lim311323xxxxxxx【注】(1)一般分子分母同除x的最高次方；(2)nmbanmnmbxbxbaxaxannmmmmnnnnx0lim0110113．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim22xxx【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】13)13)(13(lim)13(lim22222222xxxxxxxxxx0132lim22xxx例4：求极限30sin1tan1limxxxx3【解】xxxxxxxxxxsin1tan1sintanlimsin1tan1lim303041sintanlim21sintanlimsin1tan11lim30300xxxxxxxxxxx【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sinlim0xxx和exnxxxnnxx10)1(lim)11(lim)11(lim，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。例5：求极限xxxx11lim【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X1，最后凑指数部分。【解】2221212112111lim121lim11limexxxxxxxxxxx例6：(1)xxx211lim；(2)已知82limxxaxax，求a。5．用等价无穷小量代换求极限【说明】(1)常见等价无穷小有：当0x时,~)1ln(~arctan~arcsin~tan~sin~xxxxxx1ex,abxaxxxb~11,21~cos12；(2)等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式．．；(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选．．．．．。例7：求极限0ln(1)lim1cosxxxx【解】002ln(1)limlim211cos2xxxxxxxx.例8：求极限xxxx30tansinlim4【解】xxxx30tansinlim613lim31coslimsinlim222102030xxxxxxxxxx6．用洛必达法则求极限例9：求极限220)sin1ln(2coslnlimxxxx【说明】或00型的极限,可通过罗必塔法则来求。【解】220)sin1ln(2coslnlimxxxxxxxxxx2sin12sin2cos2sin2lim203sin112cos222sinlim20xxxxx【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用洛必达法则求解例10：设函数f(x)连续，且0)0(f，求极限.)()()(lim000xxxdttxfxdttftx【解】由于000)())(()(xxxutxduufduufdttxf,于是xxxxxxxduufxdtttfdttfxdttxfxdttftx0000000)()()(lim)()()(lim=xxxxxfduufxxfxxfdttf000)()()()()(lim=xxxxxfduufdttf000)()()(lim=)()()(lim000xfxduufxdttfxxx=.21)0()0()0(fff7．用对数恒等式求)()(limxgxf极限例11：极限xxx20)]1ln(1[lim【解】xxx20)]1ln(1[lim=)]1ln(1ln[20limxxxe=.2)1ln(2lim)]1ln(1ln[2lim00eeexxxxxx5【注】对于1型未定式)()(limxgxf的极限，也可用公式)()(limxgxf)1(=)()1)(lim(xgxfe因为)1)(1ln()(lim))(ln()(lim)()(limxfxgxfxgxgeexf)()1)(lim(xgxfe例12：求极限3012coslim13xxxx.【解1】原式2cosln3301limxxxex202cosln3limxxx20ln2cosln3limxxx（）01sin2coslim2xxxx（）011sin1lim22cos6xxxx【解2】原式2cosln3301limxxxex202cosln3limxxx20cos1ln3limxxx（1）20cos11lim36xxx8．利用Taylor公式求极限例13求极限)0(,2lim20axaaxxx.【解】)(ln2ln1222lnxaxaxeaaxx,)(ln2ln1222xaxaxax;).(ln2222xaxaaxx6axxaxxaaxxxx22222020ln)(lnlim2lim.例14求极限011lim(cot)xxxx.【解】00111sincoslim(cot)limsinxxxxxxxxxxx323230()[1()]3!2!limxxxxxxxx333011()()12!3!lim3xxxx.9．数列极限转化成函数极限求解例15：极限21sinlimnnnn【说明】这是1形式的的数列极限，由于数列极限不能使用洛必达法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。【解】考虑辅助极限611sin11011sin222limlim1sinlimeeexxyyyyxxxxxx所以，6121sinlimennnn10．n项和数列极限问题n项和数列极限问题极限问题有两种处理方法(1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算;(2)利用两边夹法则求极限.例16：极限22222212111limnnnnn【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把)(xf看成［0,1］定积分。710)(211limdxxfnnfnfnfnn【解】原式＝222112111111limnnnnnn1212ln2111102dxx例17：极限nnnnn22212111lim【说明】(1)该题遇上一题类似，但是不能凑成nnfnfnfnn211lim的形式，因而用两边夹法则求解；(2)两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。【解】nnnnn22212111lim因为11211122222nnnnnnnnn又nnnn2lim11lim2nnn所以nnnnn22212111lim＝１11．单调有界数列的极限问题例18：设数列nx满足110,sin(1,2,)nnxxxn（Ⅰ）证明limnnx存在，并求该极限；（Ⅱ）计算211limnxnnnxx.【分析】一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在.8【详解】（Ⅰ）因为10x，则210sin1xx.可推得10sin1,1,2,nnxxn，则数列nx有界.于是1sin1nnnnxxxx，（因当0sinxxx时，），则有1nnxx，可见数列nx单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限limnnx存在.设limnnxl，在1sinnnxx两边令n，得sinll，解得0l，即lim0nnx.（Ⅱ）因22111sinlimlimnnxxnnnnnnxxxx，由（Ⅰ）知该极限为1型，61sin01sin110032221limlimsin1limeeexxxxxxxxxxxx(使用了洛必达法则)故2211116sinlimlimennxxnnnnnnxxxx.9二、常见不定积分的求解方法的讨论0.引言不定积分是《高等数学》中的一个重要内容，它是定积分、广义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础，要解决以上问题，不定积分的问题必须解决，而不定积分的基础就是常见不定积分的解法。不定积分的解法不像微分运算时有一定的法则，它要根据不同题型的特点采用不同的解法，积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且也已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如xkdx22sin1（其中10k）；dxxxsin；dxex2；dxxln1等。这一方面体现了积分运算的困难，另一方面也推动了微积分本身的发展。同时，同一道题也可能有多种解法，多种结果，所以，掌握不定积分的解法比较困难，下面将不定积分的各种求解方法分类归纳，以便于更好的掌握、运用。1.不定积分的概念定义：在某区间I上的函数)(xf，若存在原函数，则称)(xf为可积函数，并将)(xf的全体原函数记为dxxf)(,称它是函数)(xf在区间I内的不定积分，其中为积分符号，)(xf称为被积函数，x称为积分变量。若)(xF为)(xf的原函数，则：dxxf)(=)(xF+C(C为积分常数)。在这里要特别注意，不定积分是某一函数的全体原函数，而不是一个单一的函数，它的几何意义是一簇平行曲线，也就是说：dxd(dxxf)()和dxxf)(是不相等的，前者的结果是一个函数，而后者是无穷多个函数，所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。性质：1.微分运算与积分运算时互逆的。注：积分和微分连在一起运算时：10d——————完全抵消。d——————抵消后差一常数。2.两函数代数和的不定积分，等于它们各自积分的代数和，即：dxxgxf)]()([=dxxf)(±dxxg)(。3.在求不定积分时，非零数可提到积分符号外面，即：dxxk