高等数学考研知识点总结3

1第三讲不定积分一、考试要求1．理解原函数概念，理解不定积分的概念2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质及换元积分法与分部积分法。3．会求有理函数、三角函数有理式及简单元理函数的积分（数一、二）。二、内容提要1、概念与性质（1）原函数（2）不定积分（3）性质：1)Cxfdxxf)()(或Cxfxdf)()(2)或dxxfdxxfd)()(一般地，3）dxxfkdxxkf)()(4)dxxgdxxfdxxgxf)()()]()([(4)基本积分公式表：（1）kdxkxC（k为常数）；（2）11xxdxC(1)；（3）lndxxCx；（4）2arctan1dxxCx；（5）2arcsin1dxxCx；（6）cossindxxC；2（7）sincosxdxxC；（8）2tancosdxxCx；（9）2cotsindxxCx；（10）sectansecxxdxxC；（11）csccotcscxxdxxC；（12）xxedxeC；（13）lnxxaadxCa；（14）shxdxchxC；（15）chxdxshxC。补：（1）seclnsectan,csclncsccot.xxxxCxxxxCdd（2）22221111arctan,ln.2xaxxCxCaxaaaxaaxdd（3）22arcsin.xxCaaxd2、主要计算方法(1)第一换元积分法常用“凑”微分公式：(2)第二换元积分法根式代换,,三角代换倒代换注：其它代换etxtxtx,ln,arcsin，tex1等1)当被积函数中含有22ax时令sinxat或cosxat2)当被积函数中含有22ax时令tanxat或cotxat3)当被积函数中含有22ax时令secxat或cscxat34）当被积函数的分母含有变量因子x时，令tx1.(3)分部积分法常用分部积分法：PxedxPxaxdxnkxn(),()sinPxxdxPxxdxnn()ln,()arcsinebxdxaxsin1)xdxxpxdxxpdxexpnnxncos)(,sin)(,)(中)(xpn为n次多项式,一般选取)(xpun分别xdxdvxdxdvdxedvxcos,sin,2)xdxxpxdxxpxdxxpnnnarctan)(,arcsin)(,ln)(中)(xpn为n次多项式,一般分别选取xuxuxuarctan,arcsin,ln取dxxpdvn)(3)bxdxebxdxebxaxcos,sin中可选取axeu,分别取,cos,sinbxdxdvbxdxdv也可分别取dxedvbxubxuax,cos,sin(4)有理函数的积分:化为部分分式（数一、二）(5)三角有理函数的积分:万能代换tanxt2（数一、二）(6)简单无理函数的积分:作变量替换（数一、二）三、典型题型与例题题型一、基本概念与性质4例1、（893）下列等式中，正确的是(A))()(xfdxxfdxd(B))()(xfdxxf(C))()(xfxdf(D)))(()(dxxfdxxfd例2、设)(xf是连续函数，)(xF是)(xf的原函数，则（A）当)(xf时奇函数时，)(xF必为偶函数（B）当)(xf时偶函数时，)(xF必为奇函数（C）当)(xf时周期函数时，)(xF必为周期函数（D）当)(xf时单调增函数时，)(xF必为单调增函数例3、设,arcsin)(cxdxxxf求)(xfdx例4、若24'()fxdxxC,求()fx题型二、凑微分法要熟记一些常见形式的凑微分，如5xxedxde21111ln,2,,dxdxdxdxdxdxxxx21(sin)cos(sin)sin,arctan1fxxfxdxdxdxx以及整体凑微分等例5、求不定积分2394xxxxIdx评注：本题利用了333()ln[()]222xxdxd例6、求23221(1)xIdxxx例7、求4231(arcsin)xdxIxx6例8、求211ln11xIdxxx例9、[]例10、dxeeeedxedeexxxxxx13321212111,[]()()例11、dxexxexxx2221（=2)1(1)1(xxxexed）7例12、[]题型三、有理函数的积分有理函数可以化为整式与以下四种部分分式之和,这四种部分分式及其不定积分如下:(1)ln;AdxAxaCxa(2)11(1);()1()mmAAdxCmxamxa(3)222222ln()arctan244AxBABAPxpdxxpxqCxpxqqpqp;(4)22121()()2(1)()2()mmmAxBAApdxdxBxpxqmxpxqxpxq其中,二项式2xpxq无实根,即240pq;且222()2()mmmdxpdtItxxpxqta令可使用分部积分法导出递推公式来计算（242qpa），利用配方法及分部积分法可得2AxBdxxpxq的表达式。通过多项式的除法总可分解有理函数为多项式与真分式之和,在应用待定系数法时,首先要把分解的形式写正确。8例13、求2323422xxIdxxxx例14、求)1(24xxdx例15、求dxxxx1002)2(32例16、求dxxx6411例17、求dxxx919题型四、三角有理函数的积分三角有理式的积分是指以三角函数为变量的有理函数,由于其它三角函数皆可由sin,cosxx表示,只需讨论(sin,cos)Rxx的形式,此类积分总可作代换tan2xt,使被积函数有理化,即2222212(sin,cos)(,)111ttRxxdxRdtttt。以下几种情况可作其它变换更简单一些.(1)22(sin,cos)sincos(1,)RxxxdxtxRttdt令(2)22(sin,cos)cossin(1,)RxxxdxtxRttdt令(3)21(tan)tan()1RtdtttRtdtt令例18、求1cos1cosxIdxx10例19、（962）求dxxsin11例20、求4sincosdxIxx在涉及三角有理函数的不定积分中,时刻注意诸如221sincosxx及两种变形2222cos1sin,sin1cosxxxx等一些三角变形，此类题目较灵活需在平时积累。有些三角函数的题目,不对被积函数作巧妙变换，难以求解。11题型五、简单无理函数的积分简单无理函数积分,通常是指在被积函数中含有形如2,,nnaxbaxbaxbxccxd的根式，此时一般都是要通过变量替换将根式去掉,化为有理函数积分.具体方法是:对第一个可令naxbt,即1()()nxttba;对第二个可令naxbtcxd,即()nnbdtxtcta而第三个根式经过配方后,都可化为在第二换元积分法所介绍的222222,,axaxax中的一种.例21、求3(1)dxIxx例22、求3322(1)xIdxx12例23、求1xxxeIdxe(根式代换,)例24、[分母有理化]题型六、分部积分法如下的三种形式常用分部积分法.(1)(),()sin,()coskxnnnpxedxpxxdpxxdx,其中,ka为常数,()npx为n次多项式，选取()(),kxnuxpxdvedx(或sin,cosaxdxaxdx)(2)sin(),cos()kxkxeaxbdxeaxbdx,其中,ka为常数,(),()uxdvx的选取可随意13(3)()ln,()arcsin,()arctannnnpxxdxpxxdxpxxdx,选取()ln,arcsin,arctan,()()nuxxxxdvxpxdx，有时()npx也可取为有理分式。例25、求2ln(1)xxIdxx例26、求dxeexx2arctan例27、（062，10分）求dxeexxarcsin14.例28、（032）求dxxxex232arctan)1(题型七、分段函数的不定积分例29、设0),12ln(0,2sin)(xxxxxf，求dxxf)(15题型八、综合题例30、已知1)()(xfxxf（1）求)(xf（2）若0)0(f,求20()1xfximx