高等数学讲义---常微分方程

70第四章常微分方程§4.1基本概念和一阶微分方程（甲）内容要点一、基本概念1、常微分方程和阶2、解、通解和特解3、初始条件4、齐次线性方程和非齐次线性方程二、变量可分离方程及其推广1、0)(()()(yQyQxpdxdy)2、齐次方程：xyfdxdy三、一阶线性方程及其推广1、)()(xQyxPdxdy2、)1,0()()(yxQyxPdxdy四、全微分方程及其推广（数学一）1、yPxQdyyxQdxyxP满足,0),(),(2、yRPxRQyxRypxQdyyxQdxyxP)()(),(,0),(),(，使但存在五、差分方程（数学三）（乙）典型例题例1、求dxdyxydxdyxy22的通解。解：10)(22222xyxyxxyydxdydxdyxyxy令1,2uudxduxuuxy则0)1(duuxudx7111Cxdxduuu1||lnCuxuxyuuCceyceexu,1例2求微分方程4yxydxdy的通解解：此题不是一阶线性方程，但把x看作未知函数，y看作自变量，所得微分方程341yxydydxyyxdydx即是一阶线性方程3)(,1)(yyQyyPCyyCdyeyexdyydyy413131例3设xyxpyxeyx)(是的一个解，求此微分方程满足02lnxy的特解解：将xey代入微分方程求出,)(xxexPx方程化为1)1(yedxdyx先求出对应齐次方程xexxceyyedxdy的通解0)1(根据解的结构立刻可得非齐次方程通解xexxceey再由21212ln,0220ecceyx得故所求解21xexxeey例4设在，其中)()(),()()(xgxfxgxfxF),(内满足以下条件xexgxffxfxgxgxf2)()(,0)0(),()(),()(且（1）求)(xF所满足的一阶微分方程（2）求出)(xF的表达式解：（1）由)(2)2()()(2)]()([)()()()()()()(2222xFexgxfxgxfxfxgxgxfxgxfxFx可知)(xF所满足的一阶微分方程为72xexFxF24)(2)(（2）xxxxxdxceecdxeecdxeeexF22422dx2244)(将10)0()0()0(cgfF代入，可知于是xxeexF22)(例5求微分方程2322)1(1)(ydxdyxxy的通解解：令,tan,tanvxuy原方程化为uvdvuduvvu322secsecsecsec)tan(tan化简为1)sin(dvduvu再令方程化为则,1,dvdudvdzvuzzdvdzzsin1sin,sin11)1(sin,sin1sincvdzzzcdvdzzzcvzzzcvdzzzzcvdzzzzsectancossin1sin1sin122最后Z再返回x,y,v也返回x,即可。73§4.2特殊的高阶微分方程（数学四不要）（甲）内容要点一、可降阶的高阶微分方程方程类型解法及解的表达式)()(xfyn通解nnnnnnCxCxCxCdxxfy12211))((次),(yxfy令原方程则,,pypy),(pxfp——一阶方程，设其解为),(1Cxgp,即),(1Cxgy，则原方程的通解为21),(CdxCxgy),(yyfy令yppy看作，把的函数，则dydppdxdydydpdxdpy把yy,的表达式代入原方程，得),(1pyfpdydp——一阶方程，设其解为),,(),,(11CygdxdyCygp即则原方程的通解为21),(CxCygdy二、线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。二阶齐次线性方程0)()(yxqyxpy（1）二阶非齐次线性方程)()()(xfyxqyxpy（2）1、若)(),(21xyxy为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合)()(2211xyCxyC（21,CC为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当)()()(21为常数xyxy，也即)()(21xyxy与线性无关时，则方程的通解为)()(2211xyCxyCy。2、若()yx为二阶非齐次线性方程的一个特解，而)()(2211xyCxyC为对应的二阶齐次74线性方程的通解（21,CC为独立的任意常数）则1122()()()yyxCyxCyx是此二阶非齐次线性方程的通解。3、设)()(21xyxy与分别是与)()()(1xfyxqyxpy)()()(2xfyxqyxpy的特解，则是)()(21xyxy)()()()(21xfxfyxqyxpy的特解三、二阶常系数齐次线性方程qpqyypy,,0为常数特征方程20pq特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式（1）当,042qp特征方程有两个不同的实根21,则方程的通解为xxeCeCy2121（2）当,042qp特征方程有而重根21，则方程的通解为xexCCy1)(21（3）当,042qp特征方程有共轭复根i,则方程的通解为)sincos(21xCxCeyx四、二阶常系数非齐次线性方程方程为常数其中qpxfqyypy,)(通解1122()()yyCyxCyx其中)()(2211xyCxyC为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。所以关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解y如何求？我们根据)(xf的形式，先确定特解y的形式，其中包含一些待定的系数，然后代入方程确定这些系数就得到特解y,常见的)(xf的形式和相对应地y的形式如下：1、)()(xpxfn,其中nxpn为)(次多项式（1）若0不是特征根，则令nnnnnaxaxaxaxRy1110)(75其中),,2,1,0(niai为待定系数。（2）若0是特征方程的单根，则令)(xxRyn（3）若0是特征方程的重根，则令)(2xRxyn2、xnexpxf)()(其中nxpn为)(次多项式，为实常数（1）若不是特征根，则令xnexRy)(（2）若是特征方程单根，则令xnexxRy)(（3）若是特征方程的重根，则令xnexRxy)(23、xexpxfxnsin)()(或xexpxfxncos)()(其中nxpn为)(次多项式，,皆为实常数（1）若i不是特征根，则令[()cos()sin]xnnyeRxxTxx其中nnnnnaxaxaxaxR1110)(),1,0(niai为待定系数nnnnnbxbxbxbxT1110)(),1,0(nibi为待定系数（2）若i是特征根，则令]sin)(cos)([xxTxxRxeynnx五、欧拉方程（数学一）,01)1(11)(ypyxpyxpyxnnnnnn其中),,2,1(nipi为常数称为n阶欧拉方程，令tex代入方程，变为t是自变量，y是未知函数的微分方程一定是常系数齐次线性微分方程（乙）典型例题例1求)1ln()1(xyyx的通解解：令pypy则,,原方程化为76)1ln()1(xppx1)1ln(11xxpxp属于一阶线性方程111111)1ln(Cdxexxepdxxdxx11)1ln()1ln(1111xCxCdxxx2111)1ln(CdxxCxy212)1ln()(CxxCx例2求下列微分方程的通解01)(2yyy解令dydppypy则,，原方程化为12pdydpyp121Cydyppdp12||ln1ln21Cyp211yCp211yCdxdy当2211111ln10CxyCyCCC时，当2111arcsin110CxyCCC时，例3求xeyyy232的通解解先求相应齐次方程032yyy的通解，其特征方程为032277特征根为1,321，因此齐次方程通解为xxeCeCY231设非齐次方程的特解为1,由于y为特征根，因此设xxAey,代入原方程可得21A，故原方程的通解为xxxxeeCeCy21231例4求方程xyyycos222的通解特征根为1,221，因此齐次方程的通解为xxeCeCY221设非齐次方程的特解为y,由于题目中ii2,2,0不是特征根，因此设xBxAy2sin2cos，代入原方程可得xxBABxABA2cos22sin)422(2cos)422(026226ABBA解联立方程得101,103BA，因此xxy2sin1012cos103__故原方程的通解为xxeCeCyxx2sin1012cos103221例5解xexyxyxycos3sin2cos解：令u＝xycos，则xyxyxyuxyxyucossin2cos,sincos，原方程变为xeuu4解出xexCxCu512sin2cos21xexxCxxCyxcos51cos2sincos2cos2178＝)2(cos51sincos2cos2221ccxexCxxCx例6设函数y＝y（x）在,内具有二阶导数，且yxxy,0是y＝y（x）的反函数.（1）试将x＝x（y）所满足的微分方程0sin322dydxxydyxd变换为y＝y（x）满足的微分方程；（2）求变换后的微分方程满足初始条件y（0）＝0，230y的解.解（1）由反函数导数公式知ydydx1即1dydxy.上式两端关于x求导，得0222ydyxddydxy.所以3222yyyydydxdyxd。代入原微分方程得xyysin（*）（2）方程（*）所对应的齐次方程0yy的通解为xxeCeCY21设方程（*）的特解为__y＝Axcos+Bxsin，代入方程（*）求得A＝0，B＝－21，故__y＝－21xsin，从而xyysin的通解是xeCeCxyxxsin21)(21.由230,0)0(yy，得1,121CC，故所初值问题的解为79xeexyxxsin21)(.例7．设f（x）＝xxsin－xdttftx0)()(，其中f（x）连续，求f（x）解：由表达式可知f（x）是可导的，两边对x求导，则得xdttfxxxxf0sincos再对两边关于x求导，得)(cos2sinxfxxxxf即xxxxfxfcos2sin属于常系数二阶非齐次线性方程.对应齐次方程通解xCxCysincos21，非齐次方程特解设xDCxxxBAxxysincos__代入方程