2011高考二轮复习文科数学专题二 1第一讲 三角函数的图象与性质

高考·二轮·数学（文科）专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲三角函数的图象与性质高考·二轮·数学（文科）考点整合高考·二轮·数学（文科）角的概念与诱导公式考纲点击1．了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．3．能利用单位圆中的三角函数线推导出＋α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．π2高考·二轮·数学（文科）基础梳理1．角的概念(1)终边相等的角________相等，相等的角终边________相同．(填“一定”、“不一定”)(2)确定角α所在象限，只要把角α表示为α＝2kπ＋α0(k∈Z，α0∈________)，判断出________所在象限即为α所在象限．2．诱导公式诱导公式是求三角函数值、化简三角函数的重要依据，其记忆口诀为：________.答案：1.(1)不一定一定(2)[0,2π)α02.奇变偶不变，符号看象限高考·二轮·数学（文科）1．(1)已知tan(π＋α)＝3，则2cosπ－α－3sinπ＋α4cos－α＋sin2π－α的值为()A．3B．5C．7D．9(2)(2010年全国卷Ⅰ)cos300°＝()A．－32B．－12C.12D.32答案：(1)C(2)C整合训练高考·二轮·数学（文科）考纲点击三角函数定义与同角三角函数基本关系的应用1．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．2．理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tanx.sinxcosx高考·二轮·数学（文科）基础梳理1．三角函数的定义：设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆交于点P(x,y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝.2．同角三角函数的基本关系(1)sin2α＋cos2α＝1.(2)tanα＝________.yx2.(2)sinαcosα答案：高考·二轮·数学（文科）整合训练2．(1)已知α的终边经过点A（5a，-12a），其中a0，则sinα的值为()(2)(2010年全国卷Ⅱ)已知α是第二象限的角，tanα＝－，则cosα＝________.A．－1213B.1213C.513D．－51312解析：(2)∵α是第二象限的角且tanα＝－12，∴cosα＝－255.答案：(1)B(2)－255高考·二轮·数学（文科）考纲点击三角函数的性质的应用1．能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)．理解正切函数在区间的单调性．3．了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象．了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．－π2，π2高考·二轮·数学（文科）基础梳理函数的基本性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域________________________值域________________________周期性最小正周期为____最小正周期为____最小正周期为____奇偶性____函数____函数____函数高考·二轮·数学（文科）单调性在______上增，在______上减在______上增，在______上减在______上都是增函数对称中心坐标________________________对称轴方程________________RR{x|x≠π2＋kπ，k∈Z}[－1,1][－1,1]R2π2ππ奇偶奇－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)[2kπ－π，2kπ](k∈Z)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)(－π2＋kπ，π2＋kπ)(k∈Z)(kπ，0)，k∈Z(kπ＋π2，0)，k∈Zkπ2，0，k∈Zx＝kπ＋π2，k∈Zx＝kπ，k∈Z答案：高考·二轮·数学（文科）整合训练3．(2010年重庆卷)下列函数中，周期为π，且在π4，π2上为减函数的是()A．y＝sin2x＋π2B．y＝cos2x＋π2C．y＝sinx＋π2D．y＝cosx＋π2答案：A高考·二轮·数学（文科）考纲点击三角函数的变换理解三角函数间的平移变换、伸缩变换．高考·二轮·数学（文科）基础梳理正弦曲线y＝sinx的变换(其中ω＞0)y＝sinωx①____伸长(0＜ω＜1),或缩短（ω＞1）到原来的②_____y＝sinx向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移③_____个单位y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)y＝sin(ωx＋φ)⑤____伸长(0＜ω＜1),或缩短（ω＞1）到原来的⑥_____y＝sin(x＋φ)向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移④_____个单位⑧____伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)到原来的A倍⑦____伸长(A＞1),或缩短(0＜A＜1)到原来的A倍高考·二轮·数学（文科）①横坐标②1ω③|φ|④|φω|⑤横坐标⑥1ω⑦纵坐标⑧纵坐标答案：高考·二轮·数学（文科）整合训练4．(2010年四川卷)将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是()π10A．y＝sin2x－π10B．y＝sin2x－π5C．y＝sin12x－π10D．y＝sin12x－π20答案：C高考·二轮·数学（文科）高分突破高考·二轮·数学（文科）关于三角函数的概念、公式的简单应用(1)设a＝sin5π7，b＝cos2π7，c＝tan2π7，则()A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜c＜aD．b＜a＜c(2)设函数f(x)＝sin2x－π2，x∈R，则f(x)是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数π2π2思路点拨：(1)由诱导公式可得.在单位圆中画出三角函数线即可比较它们的大小；(2)先用诱导公式将f(x)化简，然后再研究其性质．a＝sin5π7化为a＝sin2π7高考·二轮·数学（文科）解析：(1)∵a＝sin5π7＝sin2π7，由角2π7的三角函数线或三角函数图象(如图所示)，高考·二轮·数学（文科）可知cos2π7＜sin2π7＜tan2π7，即b＜a＜c.(2)∵f(x)＝sin2x－π2＝－cos2x，x∈R，∴f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos2x＝f(x)．∴f(x)为偶函数，且最小正周期T＝2π2＝π.答案：(1)D(2)B高考·二轮·数学（文科）跟踪训练1．(2009年北京卷)“α＝＋2kπ(k∈Z)”是“cos2α＝”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件π612答案：A高考·二轮·数学（文科）有关三角函数的图象与性质问题已知函数f(t)＝1－t1＋t，g(x)＝cosx·f(sinx)＋sinx·f(cosx)，x∈π，17π12.(1)将函数g(x)化简成Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，φ∈[0,2π))的形式；(2)求函数g(x)的值域．思路点拨：(1)利用sin2α＋cos2α＝1的变形将根式化为有理式；(2)利用三角函数的单调性及借助于三角函数的图象确定值域．高考·二轮·数学（文科）解析：(1)g(x)＝cosx·1－sinx1＋sinx＋sinx·1－cosx1＋cosx＝cosx·1－sinx2cos2x＋sinx·1－cosx2sin2x＝cosx·1－sinx|cosx|＋sinx·1－cosx|sinx|.∵x∈π，17π12，∴|cosx|＝－cosx，|sinx|＝－sinx，∴g(x)＝cosx·1－sinx－cosx＋sinx·1－cosx－sinx＝sinx＋cosx－2＝2sinx＋π4－2.(2)由π＜x≤17π12，得5π4＜x＋π4≤5π3.高考·二轮·数学（文科）∵sinx在5π4，3π2上为减函数，在3π2，5π3上为增函数，又sin5π3＜sin5π4，∴sin3π2≤sinx＋π4＜sin5π4当x∈π，17π12，即－1≤sinx＋π4＜－22，∴－2－2≤2sinx＋π4－2＜－3，故g(x)的值域为[－2－2，－3)．高考·二轮·数学（文科）跟踪训练2．(1)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω0)，y＝f(x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是()3A.kπ－π12，kπ＋5π12，k∈ZB.kπ＋5π12，kπ＋11π12，k∈ZC.kπ－π3，kπ＋π6，k∈ZD.kπ＋π6，kπ＋2π3，k∈Z高考·二轮·数学（文科）(2)(2010年陕西卷)对于函数f(x)＝2sinxcosx，下列选项中正确的是()A．f(x)在上是递增的B．f(x)的图象关于原点对称C．f(x)的最小正周期为2πD．f(x)的最大值为2π4，π2答案：(1)C(2)B高考·二轮·数学（文科）函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式、图象问题已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y＝f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为.(1)求f的值；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间．3π2π8π6思路点拨：(1)本题可先将f(x)化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，由f(x)为偶函数求出φ值，再由对称轴间的距离求出周期T，进而求出ω值，从而f的值可求；(2)可据图象变换的知识求解．π8高考·二轮·数学（文科）解析：(1)f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝232sinωx＋φ－12cosωx＋φ＝2sinωx＋φ－π6.∵f(x)为偶数，∴对于x∈R，f(－x)＝f(x)恒成立．∴sin－ωx＋φ－π6＝sinωx＋φ－π6即－sinωxcosφ－π6＋cosωxsinφ－π6＝sinωxcosφ－π6＋cosωxsinφ－π6，整理得：sinωxcosφ－π6＝0，∵ω＞0，且x∈R，∴cosφ－π6＝0，又∵0＜φ＜π，故φ－π6＝π2，高考·二轮·数学（文科）所以f(x)＝2sinωx＋π2＝2cosωx，由题意得2πω＝2·π2，∴ω＝2，故f(x)＝2cos2x.∴fπ8＝2cosπ4＝2.(2)将f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到fx－π6的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象．fx－π6高考·二轮·数学（文科）∴g(x)＝fx4－π6＝2cos2x4－π6＝2cosx2－π3.当2kπ≤x2－π3≤2kπ＋π(k∈Z)，即4kπ＋2π3≤x≤4kπ＋8π3(k∈Z)时，g(x)单调递减．因此，g(x)的单调递减区间为4kπ＋2π3，2kπ＋8π3(k∈Z)．高考·二轮·数学（文科）跟踪训练3．(2010年重庆卷)已知函数y＝sin(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如下图所示，则()A．ω＝1，φ＝π6B．ω＝1，φ＝π6C．ω＝2，φ＝π6D．ω＝2，φ＝－π6答案：D高考·二轮·数学（文科）祝您