高等数学A第6章多元函数微分学1-10(多元函数概念)

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学A6.1.1点集与多元函数的概念6.1.2二元函数的极限及连续性6.1多元函数微分的基本概念第6章多元函数微分学6.1多元函数微分的基本概念6.1.1一般概念预备知识邻域区域聚点n维空间多元函数概念引例二元函数的定义习例1-4二元函数的几何意义习例5-7多元函数的定义6.1.2二元函数极限及连续性多元函数极限二元函数的极限定义例8二元函数极限的计算习例9-12确定极限不存在的方法例13-16累次极限例17-19多元函数的极限多元函数连续性连续性定义闭区域上连续函数的性质例20-25小结多元函数微分学的基本概念我们把n元有序实数组(x1x2xn)的全体所构成的集合记为Rn即Rn{(x1x2xn)|xiRi12n}x(x1x2xn)称为Rn中的一个点或一个n维向量xi称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量0(000)称为Rn中的原点或n维零向量22,{(x,y)|,}nRxRyR33,{()|,,}nRxRyRzRx,y,z1212(,,,),(,(,,,))nnnRxxxxxx中每一个元素可以看成是空间里的一个点也可以认为是空间里的一个向量以原点为起始点以为终点的一个向量1.n维空间一、预备知识定义数量积/内积1212(,,,),(,,,),(,),,定义的数量积(内积)为一个数即nnnxxxyyyRxyxyxy(,)(,)(,)(,)(,)(,)xyzxzyzxyzxyxz1(,)niiixyxy:(1,0,1,2),(2,1,3,1)(,)20(3)21例则xyxy:(1):(,)(,)(2):nR里的内积运算有如下性质对称性双线性性xyyx的距离记作中点a的邻域为),,,(21nyyyy与点),,,(R21nnxxxx中的点规定为),,,(R21nnxxxx中的点与零元O的距离为22221nxxxx.,3,2,1xxn通常记作时当0Raxaxn满足与定元中的变元.ax记作nR2.邻域点集称为点P0的邻域.例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,),,(),(0zyxPU说明：若不需要强调邻域半径,也可写成.)(0PU点P0的去心邻域记为δ0PP),()δ,(0yxPUδ00PP(球邻域)在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为),()δ,U(0yxP。0P因为方邻域与圆邻域可以互相包含.(1)内点、外点、边界点设有点集E及一点P:若存在点P的某邻域U(P)E,若存在点P的某邻域U(P)∩E=,若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内点也含EE则称P为E的内点；则称P为E的外点;则称P为E的边界点.的外点,E的边界点的全体称为E的边界记作E任意一点PR2与任意一个点集ER2之间必有以下三种关系中的一种Rn中点的分类（按位置)显然,E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的边界点可能属于E,也可能不属于E.提问E的内点、外点、边界点是否都必属于E？(2)聚点若对任意给定的,点P的去心E邻域内总有E中的点,则称P是E的聚点.聚点可以属于E,也可以不属于E(因为聚点可以为所有聚点所成的点集成为E的导集.E的边界点)Rn中点的分类（按性质))(UˆE00，其内不含集合，但存在若点XXE,E0。的孤立点为集合则称的点X孤立点(isolatedpoint)(1)内点一定是聚点；注意:(2)边界点可能是聚点；}10|),{(22yxyx如(0,0)既是边界点也是聚点.(3)点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．}10|),{(22yxyx如(0,0)是聚点但不属于集合.}1|),{(22yxyx如边界上的点都是聚点也都属于集合．D(3)开区域及闭区域若点集E的点都是内点，则称E为开集；若点集EE,则称E为闭集；若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称D是连通的;连通的开集称为开区域,简称区域;。。E的边界点的全体称为E的边界,记作E;Rn中点集的分类例如，在平面上0),(yxyx41),(22yxyx0),(yxyx41),(22yxyx开区域闭区域xyo21xyoxyoxyo21整个平面点集1),(xyx是开集，是最大的开域,也是最大的闭域；但非区域.11oxy对区域D,若存在正数K,使一切点PD与某定点A的距离APK,则称D为有界域,界域.否则称为无二.多元函数的概念1.引例:圆柱体的体积定量理想气体的压强三角形面积的海伦公式cbahr设D是平面上的一个点集，如果对于每个点DyxP),(，变量z按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称z是变量yx,的二元函数，记为),(yxfz（或记为)(Pfz）.2.二元函数的定义3.二元函数的定义域(1)使得算式有意义的x,y的变化范围所确定的点集.(2)使得实际问题有意义的x,y的变化范围所确定的点集.(3)二元函数的定义域一般来说是平面上的区域.(4)二元函数的两要素是定义域和对应法则.222arcsin(3)(,),.xyfxyxy求的定义域并作图例1222224.uzxyxyz求的定义域并作图例2ln[()]lnln()?zxxyzxxy与是同一函数吗例322(,),(,).xfxyxyfxyy设求例4222arcsin(3)(,),.xyfxyxy求的定义域并作图解013222yxyx22242yxyx所求定义域为}.,42|),{(222yxyxyxD注意:平面区域通常用字母D表示.例1222224.uzxyxyz求的定义域并作图解,04022222zyxyxz,422222zyxyxz故所求定义域为}.4,|),,{(22222zyxyxzzyxxyzo例2ln[()]lnln()?zxxyzxxy与是同一函数吗解,0)()](ln[yxxyxxz的定义域为,00)ln(lnyxxyxxz的定义域为)ln(ln)](ln[不是同一函数与yxxzyxxz例322(,),(,).xfxyxyfxyy设求解))((),(yxyxyxyxf2)(yxyxyx,)(112yxyxyx.11),(2xyyyxf例44.二元函数的几何意义),(yxfz0),(yxfz0),,(zyxF一般曲面.),(),(),,(决定通过上点由平面区域曲面上点yxfzyxPDzyxM如图所示例5作二元函数的图形．yxz1例6作二元函数的图形．22yxz例7作二元函数的图形．222yxRz)0(RxyzOz=1-x-y解二元函数的图形是空间一平面，其图形如下图所示．yxz1例5作二元函数的图形．yxz1解此函数的定义域为面上任意点且，即曲面上的点都在面上方．其图形为旋转抛物面，如下图所示．xOy0zxOyz22yxzxyO例6作二元函数的图形．22yxz例7作二元函数的图形．222yxRz)0(R解此二元函数的定义域为，即坐标面上的以为圆心，为半径的圆，且．其图形为上半圆周，如下图所示．222RyxxOyORRz0yxzRRRO5.多元函数的定义.,,,,),,(,11记为元函数的为则称的值和它对应按照一定法则总有确定变量如果对于每一个点维空间内的点集设有nxxuuDxxPDnnn),,,(21nxxxfu),(:xfy一元函数一个自变量.),,(:yxfz二元函数两个自变量.),,,(:zyxfu三元函数三个自变量.),,,(:1nxxfun元函数n个自变量.n元函数在几何上表示n+1维空间上的一般曲面.注意.(1)多元函数也有单值函数和多值函数，如2222azyx在讨论过程中通常将其拆成几个单值函数后再分别加以讨论.(2)多元函数也有分段函数，如000),(222222yxyxyxxyyxf(3)点函数u=f(P)能表示所有的函数.6.多元函数有加减乘除数乘及复合运算(略)多元复合函数比一元复合函数复杂，需要认清其复合关系-----可借助链式图（分枝图）.222211sin,sin,,11是由复合而成的二元函数；zzuuvxyxyv2212312223(,,),(,,),,,是由复合而成的二元函数；ufxyxyxyufvvvvxyvxyvxy曲面z=f(x,y)与平面z=c的交线在xoy平面上的投影称为二元函数zf(x,y)的等值线。二元函数的的等值线/等高线下图回忆一元函数极限的概念.II,)(0的聚点为设xxxfy,),(Uˆ,0,00时当点若xx,|)(|),,U()(则称即axfaxf.)(lim0axfxx现在进行形式上的推广三.多元函数的极限1.二元函数的极限定义描述性定义.,),(,),(,),(),(,),(,),(00000000记为时的极限当为则称数数的常就无限接近于一个确定对应的函数值时以任何方式趋近于点如果点其聚点是的定义域为设函数yyxxyxfzAAyxfyxPyxPyxPDyxfz,),(lim00Ayxfyyxx.),(lim),(),(00Ayxfyxyx或精确定义.,),(.),(),()()(0,0,0.,),(,),(002020000时的极限当为则称成立都有的一切对于适合若是常数其聚点是的定义域为设函数yyxxyxfzAAyxfyxyyxxRAyxPDyxfz利用点函数给出的定义.)(,0,0,00APfPP有时当说明：（1）定义中的方式是任意的；0PP（2）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．Oxy),(00yx),(yx),(yx),(yx),(yx),(yx),(yx),(00yx),(yx),(yx),(yxOxy相同点多元函数的极限与一元函数的极限的一元函数在某点的极限存在的充要定义相同.差异为必需是点P在定义域内以任何方式和途径趋而多元函数于P0时,相同点和差异是什么条件是左右极限都存在且相等;都有极限,且相等.)(Pf例8依定义验证22(,)(2,1)lim()7.xyxxyy证因为227xxyy22(4)2(1)xxyy|(2)(2)(2)2(1)(1)(1)|xxxyyyy|2||2||1||3|.xxyyy不妨先限制在点(2,1)的方邻域(,)|2|1,|1|1xyxy内来讨论,于是有|3||14||1|45,yyy|2||(2)(1)5|xyxy|2||1|57.xy2277|2|5|1|xxyyxy7(|2||1|).xy0,min(1,),14取|2|,|1|xy当(,)(2,1)xy且时,就有所以2277214.xxyy这就证得22(,)(2,1)lim()7.xyxxyy2.二元函数极限的计算习例计算二元函数的极限，应用一元函数计算极限的一些法则与方法.对于未定型，不再有L`Hospital法则，须化成确定型.),0(1sin)(),(9222222yxyxyxyxf设例