高等数学C2练习卷

第1页共4页高等数学C2练习卷一、选择题（每小题4分，共20分）1．曲面1232222zyx上，点)1,2,1(处的切平面方程是（）.A.24682zyxB.0682zyxC.1234zyxD.1234zyx2．设),(yxxfz有二阶连续偏导数，令yxvxu,，则22xz（）.A.vvuuff；B.vvuvuufff；C.2vvuvuufff；D.'vvvuufff．3．交换二次积分的次序，则积分1100(,)xdxfxydy为（）.A.1100(,)xdyfxydxB.1100(,)xdyfxydxC.1100(,)dyfxydxD.1100(,)ydyfxydx4．设函数),(yxfyxyxyx6322，则点)3,0(（）．A.不是驻点B.是驻点但非极值点C.是极小值点D.是极大值点．5．下列命题正确的是（）.A．若正项级数1nnu收敛，则21nnu必收敛。B.若级数1nnu发散，则lim0nnuC．若lim0nnu，则级数1nnu收敛。D.若级数1nnu发散，则lim.nnu二、填空题（每小题4分，共24分）1、设2sin1arctanyzyxyyxe，则10xyzx.2、设arctan22yxzxye，则dz.3、Ddyx)3(=，其中D为：x22y2R。4、111npnn，当时绝对收敛，当时条件收敛。第2页共4页5、幂级数122nnnnx的收敛域为.6、通过x轴和点(4,3,1)的平面方程为.三、计算题（本题共5小题，每小题7分，满分35分）1设(,),zfxyxy且f具有二阶连续偏导数，求2,,zzzxyxy.2、计算2Dxydxdy，其中区域D是由直线20,01xyy2与x所围成的第一象限的图形.3、将函数221xxf展开成x的幂级数。4、求曲线sin,1cos,4sin2txttytz在点(1,1,22)2M处的切线方程和法平面方程.5、求幂级数1nnnx的和函数)(xS。四、应用题（本题共2题，满分16分）1、欲制造一个容积为V的圆柱形有盖容器，如何设计可使材料最省？（10分）2、椭圆抛物面222yxz与抛物柱面22xz所围立体的体积。（6分）五、证明题（本题满分5分）()()000()()().ayamaxmaxdyefxdxaxefxdx第3页共4页高等数学C2练习卷答案一、选择题（每小题4分，共20分）1、D;2、C；3、D；4、C；5、A；二、填空题（每小题4分，共24分）1、12；2、arctan[(2)(2)]yxexydxyxdy；3、0；4、1,01;pp5、[0,4);6、30yz.三、计算题（本题共5小题，每小题7分，满分35分）1、解：设,,(,),uxyvxyzfuv则2''''''12121122,,()zfufvzfufvzzffffffxuxvxyuyvyxyyx2、解：2Dxydxdy=211200xdxxydy=12201(1)2xxdx=1153、解：因为21011111222242212nnnnnxxxxxx，2x，（4分）所以111011222nnnnnnxnxfxx，2x。4、解：由曲线的方程容易得到，点(1,1,22)2M对应的参数2t，在M点处'''222222|(1cos)|1,|sin|1,|(2cos)|2,2ttttttttttxtytz因此在这点处曲线的切线方程为(1)1222.112xyz曲线的法平面方程为24.2xyz5、易求得该幂级数的收敛区间为).1,1()1,1(x，令1)(nnnxxS，则)()(1nnnxxSxxnn1111第4页共4页注意到0)0(S，)(xSxxxxdxdxxS00)1ln(1)(四、应用题（本题共2题，满分16分）1、解：设容器高为h，底圆半径为r，则222srrh，由于2Vrh，则2Vhr，代入上式得22()2,(0),Vsrrrr324(),2dsVrdrr令0dsdr，有32Vr而3222|120Vrdsdr，故32Vr是唯一的极小值，从而，当3,22Vrhr时，即有盖圆柱形容器的高与底圆直径相等时，用料最省。2、解：D:122yxcossinxryr令V=dyxD)222(22=2dr201032=五、证明：积分区域D为y轴,y=a,以及y=x所围成()()()000()()()ayaamaxmaxmaxxDdyefxdxefxdxdydxefxdy()0()().amaxaxefxdx