高三数学正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

第1页第三章第4讲第4讲正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用第2页第三章第4讲不同寻常的一本书，不可不读哟！第3页第三章第4讲1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，能画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A、ω、φ对函数图象变化的影响．2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题.第4页第三章第4讲1个必记提醒在用“代点法”求φ时，若条件中既有最值点，也有零点，应代入最值点，这样可得到一个确定的φ值．2点必知变换1.平移变换：①沿x轴平移，按“左加右减”法则；②沿y轴平移，按“上加下减”法则．2.伸缩变换：①沿x轴伸缩时，横坐标x伸长(0ω1)或缩短(ω1)为原来的1ω倍(纵坐标y不变)；②沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长(A1)或缩短(0A1)为原来的A倍(横坐标x不变)．第5页第三章第4讲3项必须注意1.要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．2.要注意平移前后两个函数的名称一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．3.由y＝Asinωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移的单位数应为|φω|，而不是|φ|.第6页第三章第4讲课前自主导学第7页第三章第4讲1.y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念振幅周期频率相位初相y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时AT＝____f＝1T＝____ωx＋φφ第8页第三章第4讲函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π)在一个周期内的图象如图，试写出函数的解析式________，它的振幅为________，周期为________，初相为________．第9页第三章第4讲2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示x______________________________ωx＋φ0π2π3π22πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0第10页第三章第4讲用五点法作函数y＝sin(x＋π6)在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是________，________，________，________，________.第11页第三章第4讲(2)如图是y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2)的一段图象，则函数f(x)的解析式为__________．第12页第三章第4讲3．由函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤第13页第三章第4讲(1)y＝sin(x－π3)是由y＝sinx的图象向________平移________个单位得到的．(2)y＝sin(2x＋π3)是由y＝sin2x的图象向____平移________个单位得到的．(3)y＝cosx图象上点的横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝________，然后再向右平移π6个单位得到y＝________.第14页第三章第4讲1.2πωω2π填一填：y＝2sin(2x＋23π)2π23π2．－φωπ2－φωπ－φω32π－φω2π－φω第15页第三章第4讲填一填：(1)(－π6，0)(π3，1)(56π，0)(43π，－1)(116π，0)(2)y＝sin(3x－3π4)3．填一填：(1)右π3(2)左π6(3)cos12xcos(12x－π12)第16页第三章第4讲核心要点研究第17页第三章第4讲例1[2013·无锡模拟]f(x)＝sin(2x＋φ)(－πφ0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝π8.(1)求φ；(2)画出函数y＝f(x)在区间上[0，π]的图象．第18页第三章第4讲[审题视点](1)根据题目给出的图象特征对称轴，确定参数φ的值；(2)采用“五点法”作图，应注意定义域为[0，π]．同时注意列表时要列端点值．[解](1)∵x＝π8是函数y＝f(x)的图象的对称轴，∴sin(2×π8＋φ)＝±1，∴π4＋φ＝kπ＋π2，k∈Z.第19页第三章第4讲∵－πφ0，∴φ＝－3π4.(2)由y＝sin(2x－3π4)知x0π83π85π87π8πy－22－1010－22第20页第三章第4讲故函数y＝f(x)在区间[0，π]上图象如下图所示．第21页第三章第4讲1．“五点法”作图的关键是确定关键点：1)当画函数y＝Asin(ωx＋φ)在x∈R上的图象时，一般令ωx＋φ＝0，π2，π，32π，2π，即可得所画图象的特殊点坐标．第22页第三章第4讲2)当画函数y＝Asin(ωx＋φ)在某个指定区间上的图象时，一般先求出ωx＋φ的范围，然后在这个范围内选取特殊点，连同区间的两端点一起列表．2.连线时要把握线条的凹凸趋势．3.用图象变换法作图仅能作出简图．第23页第三章第4讲[变式探究][2013·武中期中]已知函数f(x)＝sinx＋3cosx.(1)求f(x)的周期和振幅．(2)用五点法作出f(x)在一个周期内的图象．解：(1)y＝sinx＋3cosx＝2(12sinx＋32cosx)＝2sin(x＋π3)∴函数f(x)的周期为2π，振幅为2.第24页第三章第4讲(2)列表如下：x－π3π623π76π53πx＋π30π2π32π2πy＝2sin(x＋π3)020－20第25页第三章第4讲描点连线即得y＝2sin(x＋π3)在一个周期的图象．第26页第三章第4讲例2[2012·浙江高考]把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是()第27页第三章第4讲第28页第三章第4讲[审题视点]利用函数图象的平移和伸缩的变换规律逐步完成．[解析]y＝cos2x＋1通过伸缩、平移变换后得到y＝cos(x＋1)，对应图象为A项．[答案]A第29页第三章第4讲在进行三角函数图象的左右平移时，应注意以下几点：一要弄清是平移哪个函数图象，得到哪个函数的图象；二要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先用诱导公式化为同名函数；三是由y＝Asinωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．第30页第三章第4讲答案：A[变式探究]已知函数f(x)＝sin(ωx＋π4)(x∈R，ω0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cosωx的图象，只要将y＝f(x)的图象()A．向左平移π8个单位长度B．向右平移π8个单位长度C．向左平移π4个单位长度D．向右平移π4个单位长度第31页第三章第4讲解析：由题意得2πω＝π，ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋π4)，g(x)＝cos2x.将函数y＝f(x)的图象向左平移π8个单位长度时，y＝sin[2(x＋π8)＋π4]＝sin(2x＋π2)＝cos2x.第32页第三章第4讲例3[2012·湖南卷]已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω0,0φπ2)的部分图象如图所示．第33页第三章第4讲(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝fx－π12－fx＋π12的单调递增区间．[解](1)由题设图象知，周期T＝211π12－5π12＝π，所以ω＝2πT＝2，因为点5π12，0在函数图象上，所以Asin2×5π12＋φ＝0，即sin5π6＋φ＝0.第34页第三章第4讲又因为0φπ2，所以5π65π6＋φ4π3，从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6.又点(0,1)在函数图象上，所以Asinπ6＝1，得A＝2.故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin2x＋π6.第35页第三章第4讲(2)g(x)＝2sin2x－π12＋π6－2sin2x＋π12＋π6＝2sin2x－2sin2x＋π3＝2sin2x－212sin2x＋32cos2x＝sin2x－3cos2x＝2sin2x－π3.第36页第三章第4讲由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z，所以函数g(x)的单调递增区间是kπ－π12，kπ＋5π12，k∈Z.第37页第三章第4讲奇思妙想：本题将图象改为下图，|φ|π2，问题不变，该如何解答？第38页第三章第4讲解：(1)T＝2(1112π－512π)＝π，ω＝2，∵sin(2×512π＋φ)＝1，∴56π＋φ＝π2，∴φ＝－π3，∴f(x)＝sin(2x－π3)．第39页第三章第4讲(2)g(x)＝sin[2(x－π12)－π3]－sin[2(x＋π12)－π3]＝sin(2x－π2)－sin(2x－π6)＝－cos2x－32sin2x＋12cos2x＝－(32sin2x＋12cos2x)＝－sin(2x＋π6)，由2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋32π，得kπ＋π6≤x≤kπ＋23π，∴g(x)的递增区间是[kπ＋π6，kπ＋23π]，k∈Z.第40页第三章第4讲根据y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A＝最高点－最低点2；第41页第三章第4讲②k的确定：根据图象的最高点和最低点，即k＝最高点＋最低点2；③ω的确定：结合图象，先求出周期T，然后由T＝2πω(ω0)来确定ω；第42页第三章第4讲④φ的确定：ⅰ)代入法：把图象上一个已知点代入解析式(此时，A，ω，k已知)，一般代最值点，代其它点时要注意所代点处于上升区间还是下降区间上．ⅱ)五点法：往往寻找“五点法”中的点为突破，具体如下：起始点(即图象上升时与x轴的交点)时，ωx＋φ＝0；第43页第三章第4讲最高点时，ωx＋φ＝π2；中间点(即图象下降时与x轴的交点)时，ωx＋φ＝π；最低点时，ωx＋φ＝32π；终止点时ωx＋φ＝2π.第44页第三章第4讲[变式探究][2013·海淀区检测]函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2)的部分图象如图所示(1)求ω，φ；(2)求函数图象的对称轴及对称中心．第45页第三章第4讲解：(1)由图象知A＝1，34T＝1112π－π6＝34π，∴T＝π，∴ω＝2πT＝2，此时，f(x)＝sin(2x＋φ)，又f(x)图象过(π6，1)．∴2×π6＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，解得φ＝2kπ＋π6，k∈Z，第46页第三章第4讲∵|φ|π2，∴φ＝π6.(2)由(1)知f(x)＝sin(2x＋π6)，∴2x＋π6＝kπ＋π2，(k∈Z)得x＝kπ2＋π6(k∈Z)．第47页第三章第4讲又由2x＋π6＝kπ，(k∈Z)得x＝kπ2－π12(k∈Z)．∴函数f(x)的对称轴为x＝kπ2＋π6(k∈Z)，对称中心为(kπ2－π12，0)(k∈Z).第48页第三章第4讲例4[2012·重庆高考]设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A0，ω0，－πφ≤π)在x＝π6处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为π2.(1)求f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝6cos4x－sin2x－1fx＋π6的值域．第49页第三章第4讲[解](1)由题设条件知f(x)的周期T＝π，即2πω＝π，解得ω＝2.因f(x)在x＝π6处取得最大值2，所以A＝2.从而sin2×π6＋φ＝1，所以π3＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z.又由－πφ≤π得φ＝π6.第50页第三章第4讲故f(x)的解析式为f(x)＝2sin2x＋π6.(2)g(x)＝6cos4x－sin2x－12sin2x＋π2＝6cos4x＋cos2x－22cos2x＝2cos2x－13cos2x＋222cos2x－1＝32cos2x＋1cos2x≠12.因cos2x∈[0,1]，且cos2x≠12，故g(