多元线性回归模型公式

二、多元线性回归模型在多要素的地理环境系统中，多个（多于两个）要素之间也存在着相互影响、相互关联的情况。因此，多元地理回归模型更带有普遍性的意义。（一）多元线性回归模型的建立假设某一因变量y受k个自变量kxxx,...,,21的影响，其n组观测值为（kaaaaxxxy,...,,,21），na,...,2,1。那么，多元线性回归模型的结构形式为：akakaaaxxxy...22110（3.2.11）式中：k,...,1,0为待定参数；a为随机变量。如果kbbb,...,,10分别为k...,,,210的拟合值，则回归方程为ŷ=kkxbxbxbb...22110（3.2.12）式中：0b为常数；kbbb,...,,21称为偏回归系数。偏回归系数ib（ki,...,2,1）的意义是，当其他自变量jx（ij）都固定时，自变量ix每变化一个单位而使因变量y平均改变的数值。根据最小二乘法原理，i（ki,...,2,1,0）的估计值ib（ki,...,2,1,0）应该使min...212211012nakakaaanaaaxbxbxbbyyyQ（3.2.13）有求极值的必要条件得najaaajnaaakjxyybQyybQ110),...,2,1(0202（3.2.14）将方程组（3.2.14）式展开整理后得：naakaknakanakaanakaanakanaaaknakaanaanaaanaanaaaknakaanaaanaanaanaaknakanaanaayxbxbxxbxxbxyxbxxbxbxxbxyxbxxbxxbxbxybxbxbxnb11221211101121221221121012111121211121011112121110)(...)()()(...)(...)()()()(...)()()()(...)()(（3.2.15）方程组（3.2.15）式，被称为正规方程组。如果引入一下向量和矩阵：knnnkkknkxxxxxxxxxxxxXyyyYbbbbb...1..................1...1...1,...,...2132313222121211121210knnnkkkknkkknnTxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxXXA...1..................1...1...1........................1...1112132313222121211132122322211131211nakanakaanakaanakanakaanaanaaanaanakaanaaanaanaanakanaanaaxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxn12121111212212112111211211111211...........................naakanaaanaaanaanknkkknnTyxyxyxyyyyyxxxxxxxxxxxxYXB11211132132122322211131211..............................1...111则正规方程组（3.2.15）式可以进一步写成矩阵形式BAb（3.2.15’）求解（3.2.15’）式可得：YXXXBAbTT11)(（3.2.16）如果引入记号：),...,2,1,())((1kjixxxxLLnajjaiiajiij),...,2,1())((1kiyyxxLnaaiiaiy则正规方程组也可以写成：kkkykkkkkykkykkxbxbxbybLbLbLbLLbLbLbLLbLbLbL........................2211022112222212111212111（3.2.15’’）（二）多元线性回归模型的显著性检验与一元线性回归模型一样，当多元线性回归模型建立以后，也需要进行显著性检验。与前面的一元线性回归分析一样，因变量y的观测值nyyy,...,,21之间的波动或差异，是由两个因素引起的，一是由于自变量kxxx,...,,21的取之不同，另一是受其他随机因素的影响而引起的。为了从y的离差平方和中把它们区分开来，就需要对回归模型进行方差分析，也就是将y的离差平方和TS或（Lyy）分解成两个部分，即回归平方和U与剩余平方和Q：QULSyyT在多元线性回归分析中，回归平方和表示的是所有k个自变量对y的变差的总影响，它可以按公式kiiyinaaLbyyU121)(计算，而剩余平方和为ULyyQyynaaa21)(以上几个公式与一元线性回归分析中的有关公式完全相似。它们所代表的意义也相似，即回归平方和越大，则剩余平方和Q就越小，回归模型的效果就越好。不过，在多元线性回归分析中，各平方和的自由度略有不同，回归平方和U的自由度等于自变量的个数k，而剩余平方和的自由度等于1kn，所以F统计量为：)1/(/knQkUF当统计量F计算出来之后，就可以查F分布表对模型进行显著性检验。