Stolz(施笃兹)定理-及其推论

Stolz定理设ny是严格单调增加的正无穷大量,且11limnnnnnxxayy(a可以为有限量,与)则limnnnxay重要结论:如limnnaa,则1limnnaaan例1:设limnnaa,求122lim()2nnaaanan例2:设k为正整数,求极限11112lim()kkkknnnk例3:证明：22223135(21)4lim3nnn求极限22223135(21)4lim3nnnn性质设()fx在[,]ab内具有一阶连续导数,则1()lim()()[()()}2nbankbakbabanfxdxfafafbnnStolz定理应用:设11(0,1),(1),(1,2,),nnnxxxxn+Î=-=证明：lim1nnnx=证明：易知nx单调降且趋于零，下用Stolz定理证lim1nnnx=.11111111limlimlimlim(1)nnnnnnnnnnxxxnxnnnxx---÷ç÷===-ç÷ç÷ç--因1111111111(1)(1)(1)111(1)nnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxx+++--=-Þ=Þ=+--Þ-+-因此11111limlim1lim11nnnnnnnnxxxx--÷ç÷-==Þ=ç÷ç÷ç-证明如下结论:(i)结定数列{}na,证明limnna存在的充要条件是()11nnnaa¥-=-å收敛(ii)设111ln2nann=+++-,证明limnna存在证明:(i)级数收敛充要条件是该级数的部分和序列{}nS收敛()101nnkknkSaaaa-==-=-å{}nS收敛,即{}0naa-收敛的充要条件是limnna存在.(ii)()1111111lnln(1)ln(1)nnnnnaannnnn-===-=-+-=+-(但此级数不是正项级数,除有限项外都是负的),而211ln(1)1lim12nnnn---=与111ln(1)nnn¥=÷ç-+-÷ç÷÷çå与211nn¥=å有相同敛散性,故111ln(1)nnn¥=÷ç-+-÷ç÷÷çå收敛.故111ln(1)nnn¥=÷ç+-÷ç÷÷çå收敛,因此由(i)知:limnna存在设012(1)0,2nnnxxxx，求limnnx解：易知02nx，如nx有极限a，则lim2nnx（可从02(1)0,2axaa得）关键在：证nx有极限。1122(2)2(1)22222nnnnnnxxxxxx10222,(2)22nnnxxxx1222221222nnnxxx1201122222...02222nnnxxxxxxlim2nnx当022lim2nnnxxx因此00,lim2nnxx