不定积分第2换元法

不定积分的计算2020/3/7不定积分的计算方法第二节不定积分的计算2020/3/72.第二换元法：令x=x(t),将x换为t,结果再换回x有下面定理：的原函数易求时，我们的原函数难以计算而当dtttfdxxf)()]([)(定理CxGdxxfCtGdtttfItx)]([)()()()]([)(1零，又设：内可导，单射且恒不为在区间设第二换元法计算步骤如下：CxGCtGdttgdtttfdxxfxttx)]([)()()()]([)()4()()3()2()1()(1代回积分用公式整理换元不定积分的计算2020/3/7,sin,131231dxxxIdxxxI计算：第二换元法例例8dtttItxtx)2(314133/)1(133令解：Ctt)51(3125积分Cxxxt32353)13(31)13(15113tdtItxtxsin222Ctcos2积分Cxxtcos2代回不定积分的计算dttt163整理2020/3/7dxxxI331计算：第二换元法例例8dttttItxxt52336166解：的最小公倍数。为形式的被积函数，可令对；形式的被积函数，可令对：结论mnktxxxfbaxtbaxfkmnnn,,),()2()()1(316)1(6111623tdtdtttdttt积分Ctttt|1|ln663223Cxxxxxt|1|ln66326636代回不定积分的计算2020/3/7,0ax解：当,4221dxxxaI计算：第二换元法例(续1)例9tax22xa2222/tan/cos/sinxaxtaxataxt分析：在含有无理式的积分中，基本的解题思路是：有理化无理式，即：去根号。对于√￣￣可以用直角三角形中勾股弦关系代换：dttataItdtadxtaxtaxa4422cos,sincos1sincos22Ctadttta32422tan311tansec1积分)(3)(322/322/tan22见上图代回Cxaxaxaxt)0(3)(322/3221xaCxaxaI类似可得：不定积分的计算2020/3/7,222axxdxI计算：第二换元法例(续1)例9代换解：,222xaatgtaxaSectxItxa22axaaxtxaxaxt/tan/cot/sin2222tatatdttatansectansecCtadta11整理)),((arccos1arccosaxCxaaxat代回)),((arccos1),(2axCxaaIax时：类似可得，当不定积分的计算2020/3/7dxxaI223计算：第二换元法例(续1)例9taxtaaxIsinhcosh322代换解：tdta22coshdteeatt)2(4222整理Cteeatt224222积分Ctta22sinh42)ln()(2sinh22axxtt代回见右图222axxCaxxa)ln(2222aaxaxChtShteeeeeeeetShtttttttt222222222222)()(22不定积分的计算2020/3/7。函数或指数函数后积出将它们化成有理或或换元：积分，可以分别作三角的某些不定：对于含有根式结论),cosh,sinh(sec,tan,sin,,4222222taxtaxtaxtaxtaxaxxaxa去根号。对于√￣￣可以用直角三角形中勾股弦关系代换：不定积分的计算2020/3/7例10dxxxI322求积分CxxxCttdttdttduuadxxIxxtxttxtx2arcsin)1(42sin2sin21cos2)1(4222)1(42121arcsin22sin2)2cos1(2cos4)()1(4212212代回分项积分令配方类属于解：2x-12)1(4xt2)1(4212cossin22sin2xxttt后求解。或或可配方成：对于被积函数为结论)()()()(52222222axfaxfxafcbxaxf不定积分的计算2020/3/7例11)0(22aaxxdxI求积分)1,0(,1attxxa时，令解：当22)(1)(1)(1atatdaatdtI凑微分CxaaCataxtarcsin1arcsin1/1代回积分不定积分的计算2020/3/7。：以上代换叫做倒代换注么？请同学们想一想，为什不同，的结果中：这一结果与例注2)arccos1(912CxaaI不定积分的计算2020/3/7,)cos1(sinsin11dxxxxI求例122tanxt可用万能代换公式：解：对于三角有理函数dtttItdtdxtxtttxttxx)2(211)1/(2,arctan2,tan)1/()1(cos),1/(2sin122222Cttt|)|ln22(212积分Cxxtgx|2tan|ln22tan412代入不定积分的计算2020/3/7,)1(10032dxxxI求例12dtttItxtx10031,12)1(化分母为一个变量解：dttttt)33(100999897分项Ctttt99989796991983973961积分Cxxxx99989796)1(991)1(983)1(973)1(961代回不定积分的计算2020/3/7xedxI13求例12)1(113ttdtItex解法解：tdttdt1分项CexCttx)1ln(ln)1ln(回代xxxxxedxedxdxeeeI11123解法凑微分，分项Cexeedxxxx)1ln(1)1(不定积分的计算2020/3/7第一、二换元法的异同(1)两种换元法都以下面积分等式为依据：(2)两种换元法的区别在于：)()()()]([)(txdttgdtttfdxxf其中：CxFdttgCxFdxxfdxxfdttg)]([)(,)()()()(据上式可得：元法：较难计算时，用第一换比当))()((,)]([)(,)()()()(11的反函数是其中，据上式可得：元法：较难计算时，用第二换比当txxCxGdxxfCtGdttgdttgdxxf