第五章 .特征值特、征向量及矩阵对角化总结

1/11第五章特征值、特征向量及矩阵的对角化（填空、选择为主）5.1矩阵的特征值和特征向量定义（矩阵的特征值和特征向量）设A为n阶方阵，如果存在数及非零向量x,使得xAx(4-1)或0)(xAE(4-2)则称为A的一个特征值，x为A的对应于（或属于）特征值的一个特征向量.求n阶方阵A的特征值与特征向量的一般步骤如下：第一步：计算特征多项式||AE；第二步：求出特征方程||AE=0的全部根n,,,21（重根按重数计算），则n,,,21就是方阵的全部特征值.如果i为特征方程的单根，则称i为A的单特征值；如果j为特征方程的k重根，则称j为A的k重特征值，并称k为j的重数；第三步：对A的相异特征值中的每个特征值i,求出齐次线性方程组0)(AEi(4-3)的一个基础解系jikii,,,21，则jikii,,,21就是对应于特征值i的特征空间的一个基，而A的属于i的全部特征向量为jjikkiicccx2211其中jkccc,,,21为不全为零的任意常数.特征值和特征向量有下列基本性质：性质1设nnijaA)(的全部特征值为n,,,21，则有||,21121Aanniiin利用性质1可以简化有关特征值问题的某些计算.性质2设为方阵A的一个特征值，且x为对应的特征向量，则对任何正整数k,k为kA的一个特征值且x为对应的特征向量.更一般地，对于任何多项式01)(axaxaxfmm，则)(f为方阵EaAaAaAfmm01)(的一个特征值，且x为对应的特征向量.2/11性质3设为可逆方阵A的一个特征值，则1,0为1A的一个特征值，||A为*A的一个特征值性质4设m,,,21为方阵A的互不相同的特征值，ix为属于i的特征向量),,2,1(mi，则向量组mxxx,,,21线性无关.更一般的，设iikiixxx,,,21为属于i的线性无关特征向量),,2,1(mi，则向量组mmkmmkkxxxxxxxxx,,,,,,,,,,,,21222211121121线性无关性质5设重特征值，则属于的为方阵kA00的线性无关特征向量的个数不大于k关于特征值与特征向量的结论见下图：AkAkAmAmiiiAaAf0)(1A*AAPPB1特征值kmmiiiaf0)(1||A对应特征向量xxxxxxxP15.2相似矩阵及方阵可相似对角化的条件定义（相似矩阵）对于同阶矩阵A,B，若存在同阶可逆矩阵P，使得BAPP1（4-4）则称A与B相似，或A相似于B，并称变换：APPA1为相似变换.矩阵的相似关系具有反身性(A与A相似)、对称性（A与B相似，则B与A相似）和传递性（A与B相似，B与C相似，则A与C相似）.定理（矩阵A与B相似的必要条件）设矩阵A与B相似，则有(1))()(BrAr；(2)||||BA；3/11(3)||||BEAE，即A与B有相同的特征多项式（从而A与B有相同的特征值）（但要注意到其特征向量不一定相等）；(4)TA与TB相似，1A与1B相似，kA与kB相似.推论若n阶矩阵A相似于对角矩阵∧=diag(ƛ1,ƛ2,…，ƛn)时，∧的主对角线元素ƛ1,ƛ2,…，ƛn就是A的n特征值.定理（矩阵相似与对角矩阵的充分必要条件）n阶矩阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.推论矩阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是A的属于每个特征值的线性无关特征向量个数正好等于该特征值的重数.定理（矩阵相似于对角矩阵的充分条件）如果n阶矩阵A有n个互不相同的特征值（即A的特征值都是特征值），则A必相似于对角矩阵.矩阵可相似对角化的条件见下图（设A是n阶矩阵）A相似于对角矩阵A正交相似于实对角矩阵A的n个特征值互异A有n个线性无关的特征向量A的所有)1(ir重特征值对应ir个线性无关的特征向量A是实对称矩阵5.3向量的内积、长度及正交性定义几何中，两个向量的数量积定义为：其中是的长度，是的夹角.如果在直角坐标系下，向量表示为则4/11依据坐标表示向量的长度为：，向量的夹角为：代数中定义设维向量称为向量的内积.称为向量的长度（或范数），特别，当时，称为单位向量.称为向量与的夹角；特别，，当（即）时，称向量与正交.注：内积是向量的一种运算，如果x和y都是列向量，可以记作[x，y]=xTy，其结果是一个数.且[x，x]=x1^2+x2^2+…+xn^2≥0，当且仅当x=0时成立.4.向量长度的性质：（1）非负性：0且00（2）齐次性：kk（3）三角不等式：以上定义的概念有如下性质：1．2．3．4．，（）5．6．7．5/11称一组两两正交的非零向量为正交向量组.定理设n维向量是一组两两正交的非零向量（或称是正交向量组），则线性无关.证设，两边与作内积，得因故，同理，，所以线性无关.定义设是向量空间，是的一组基，且是正交向量组，则称是的一组正交基.如果既是的一组正交基，又是单位向量，则称是规范正交基或单位正交基.正交基的求法（施密特正交化公式解决矩阵的对角化问题）：1.正交化设是向量空间，是的一组基，则，，是的一组正交基.2.单位化如果取6/11则是规范正交基.例3设1211，1312，0143，试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.解取11b；1113512164131,1211222bbbb；1012,,222231211333bbbbbbb.再把它们单位化，取121611e，111312e，101213e.即合所求.例4已知1111，求一组非零向量32,，使321,,两两正交.解32,应满足方程01xT，即0321xxx.它的基础解系为1011，1102.把基础解系正交化，即合所求.亦即取12，1112123,,.于是得1012，121213.7/11正交矩阵定义1．是阶方阵，并且（即），称为正交阵.2．若是正交阵，则称是正交变换.正交阵的充要条件：为正交阵的列（行）是两两正交的单位向量.为正交矩阵的充要条件是或证设，是的列向量，则为正交阵是两两正交的单位向量.正交矩阵的等价定义：A是正交矩阵，即EAAT或TAA1或EAATA的列（行）向量是两两正交的单位向量正交矩阵有下列基本性质：设A,B都是n阶正交矩阵，则（1）1A（2）*T1AAA）与（即也是正交矩阵（注：A为正交能推出A为可逆矩阵且T1AA，但反之不成立）（3）如果A,B为同阶正交矩阵，则AB也是正交矩阵.(4)实矩阵A为正交矩阵，当且仅当A的列（行）向量组为正交单位向量组.利用上述的性质(4)，可以比较方便的检验矩阵是否为正交矩阵.正交变换定义若P为正交阵，则线性变换y=Px称为正交变换.8/11正交变换的性质：设是正交变换的系数矩阵，则，从而及.正交变换有下列性质（其中A为正交矩阵）：(1)保内积性：若2211,AxyAxy，则),(),(2121xxyy；(2)保长度性：若Axy，则||||xy正交矩阵的判断例题5.4实对称矩阵的性质及正交相似对角化实对称矩阵有下列性质：性质1实对称矩阵的特征值都是实数.性质2实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必正交.即设1，2是实对称矩阵A的两个特征值，p1，p2是对应的特征向量，若1≠2则p1与p2正交.性质3若0为实对称矩阵A的k重特征值，则A的属于0的线性无关特征向量正好有k个.定理设A为实对称矩阵，则必存在正交矩阵P，使得APPAPPT1为对角矩阵.求正交矩阵P，使得APP1对角矩阵的方法：1）、求出A的全部特征值n,,21：由方程0||AE解得；2）、对于每一个),,2,1(,nii，解齐次线性方程组0)(xAEi，找出基础解系siiippp,,,213）、将nppp,,,21正交化，单位化，得一组正交单位向量n,,,21；4）、因为n,,21各不相同，因此所求的向量组是两两正交的单位向量组，其向量的总数为n，这组列向量就构成了正交矩阵Q。例6、设实对称矩阵320222021A，求正交矩阵Q，使得AQQ1为对角矩阵。9/11解：1）、求特征值由0)5)(2)(1(320222021||AI，得A的特征值为5,2,1321；2）、当11时，解齐次线性方程组0)(AI，即0420232022321xxx得同解方程组232121xxxx，取22x，得1,231xx，于是基础解系1221；当22时，解齐次线性方程组0)2(AI，即0120202021321xxx得同解方程组232122xxxx，取12x，得2,231xx，于是基础解系2122；当53时，解齐次线性方程组0)5(AI，即0220232024321xxx得同解方程组323121xxxx，取23x，得2,121xx，于是基础解系2213，3）、321,,是正交向量组，将它们单位化,313232||||111,323132||||222,323231||||333则323231323132313232)(321Q，且5000200011AQQAQQT。10/11例7、设实对称矩阵310130004A，求正交矩阵Q，使得AQQ1为对角矩阵。解：1）、求特征值由0)4)(2(310130004||2AI，得A的特征值为4,2321；2）、当21时，解齐次线性方程组0)2(AI，即0110110002321xxx得同解方程组3210xxx，取13x，得1,021xx，于是基础解系1101；当432时，解齐次线性方程组0)4(AI，即0110110000321xxx得同解方程组321xxx任取，取10,0121xx，得1,033xx，于是基础解系0012，1103，向量21,恰好正交；3）、321,,是正交向量组，将它们单位化,21210||||111,001||||222,21210||||333于是得正交矩阵2102121021010)(321Q，且