数列极限的收敛准则讲解

高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（1）第三讲数列的极限的性质与收敛准则授课教师：王利平第一节数列的极限一、数列及其简单性质√二、数列的极限√三、数列极限的性质√四、数列的收敛准则:limaxnn有时当,0,,0NnN||axnaxn即axan?,论你认为可能得到什么结由此回想数列的极限3.保号性定理,0),0(0,limNaaaxnn则若).0(0,nnxxNn有时当证,,0,lim则由极限的定义且设aaxnn有时当时取,,0,02NnNa,2||aaxn由绝对值不等式的知识,立即得.20nxaaa0的情形类似可证,由学生自己完成.,)0(0nnxx若保号性定理的推论1：,lim存在且axnn.)0(0aa则这里为严格不等号时此处仍是不严格不等号保号性定理的推论2：,),0()(00时当或若NnNNnyxyxnnnn则存在且,lim,limbyaxnnnn.)limlim(limlimbyxabyxannnnnnnn在极限存在的前提下,对不等式两边可以同时取极限,不等号的方向不变,但严格不等号也要改为不严格不等号.例1证.,lim),12(lim),2(lim}{Zmaxmnaxmnaxxnnnnnnn其中则满足证明：如果,0,,0,)2(lim11时当由NnNmnaxnn,,0),12(lim22时当由NnNmnaxnn);2(||mnaxn,)12(||mnaxn,||,},,max{21axNnNNNn恒有时则当取.limaxnn故由极限定义得：逆命题成立吗？例2证.1lim:,,1,,1nnnxnnnnnnx证明为奇数当为偶数当设,0,11,11nnnnnn即要要,,],1[11有为偶数时则当故取nNnN;11nn,11,11,nnnnnn即要要同理,,],1[22有为奇数时则当故取nNnN;11nn,},,max{21时则当取NnNNN11与nn,11同时成立nn,|1|,,即成立时当所以nxNn.1limnnx例3.}8sin{}{的敛散性判别nxn解利用函数的周期性,在{xn}中取两个子数列:得子数列：令,,8)1(Nkkn,sin,,2sin,sin:}{sin}8sin{kkn.00limsinlim,,0sinnnkNkk所以由于得子数列：令,,416)2(Nkkn),22sin(,,25sin:})2sin(2{}8sin{kkn.11lim)22sin(limnnk此时.)(}8sin{:即极限不存在是发散的故由推论可知n1.单调收敛准则单调减少有下界的数列必有极限.单调增加有上界的数列必有极限.一、数列极限收敛准则通常说成：单调有界的数列必有极限..11收敛证明数列nn证由中学的牛顿二项式展开公式321!3)2)(1(1!2)1(1!1111nnnnnnnnnnxnnnnnnnnn1!))1(()1(nnn2111!31112111！,112111!1nnnnn例1类似地,有11111nnnx111121111!1nnnnn11121111!)1(1nnnnn121111!311112111nnn！除前面的展开式可以看出与比较,1nnxx并且的对应项的每一项都小于两项外,,1nnxx因此一项还多了最后的大于零的,1nx1nnxx.}{是单调增加的即nxnnnxn2111!31112111！112111!1nnnnn又!1!31!2111n1221212111n,321321121111nn等比数列求和放大不等式.}{有界从而nx每个括号小于1.综上所述,数列{xn}是单调增加且有上界的,由极限存在准则可知,该数列的极限存在,通常将它记为e,即.11limennne称为欧拉常数.590457182818284.2e.ln:,,xye记为称为自然对数为底的对数以!!1!31!21!111nnnee的计算公式为.10,其中欧拉一身经历坎坷。他于1707年生于瑞士巴塞尔，20年后却永远离开了祖国。在他76年的生命历程中，还有25年住在德国柏林（1741－1766年），其余时间则留在俄国彼得堡。欧拉31岁时右眼失明，59岁时双目失明。他的寓所和财产曾被烈火烧尽（1771年），与他共同生活40年的结发之妻先他10年去世。欧拉声誉显赫。12次获巴黎科学院大奖（1738－1772年）曾任彼得堡科学院、柏林科学院、伦敦皇家学会、巴塞尔物理数学会、巴黎科学院等科学团体的成员。欧拉成就卓著。生前就出版了560种论著，另有更多未出版的论著。仅仅双目失明后的17年间，还口述了几本书和约400篇论文。欧拉是目前已知成果最多的数学家。欧拉聪明早慧，13岁入巴塞尔大学学文科，两年后获学士学位。第二年又获硕士学位。后为了满足父亲的愿望，学了一段时期的神学和语言学。从18岁开始就一直从事数学研究工作。欧拉具有超人的计算能力。法国天文学家、物理学家阿拉哥（D.F.J.Arago，1786－1853）说：“欧拉计算一点也不费劲，正像人呼吸空气、或像老鹰乘风飞翔一样。”有一次，欧拉的两个学生计算一个复杂的收敛级数的和，加到第17项时两人发现在第50位数字相差一个单位。为了确定究竟谁对，欧拉用心算进行了全部运算，准确地找出了错误。特别是在他双目失明后，运用心算解决了使牛顿头疼的月球运动的复杂分析运算。欧拉创用a，b，c表示三角形的三条边，用A，B，C表示对应的三个角(1748)；创用表示求和符号(1755)；提倡用表示圆周率（1736）；1727年用e表示自然对数的底；还用y表示差分等等。十八世纪四十年代，欧拉的一些著作就已传到中国，如他在1748年出版的《无穷分析引论》。2.数列极限的夹逼定理设数列{xn},{yn},{zn}满足下列关系:(2),limlimazynnnn则axnnlim(1)ynxnzn,nZ+(或从某一项开始);想想：如何证明夹逼定理?,limlim所以因为azynnnn,||,,0,01ayNnNn时当,||,,0,022azNnNn时当,},,max{21有时则当取NnNNN.||,||azaynn故有或从某一项开始已知),(Znzxynnn)(Nnazxyannn,,由极限定义得有时即当axNnn.limaxnn解.12111lim222nnnnn求11211122222nnnnnnnnn,1lim2nnnn而11lim2nnn由于112111lim222nnnnn故例2想得通吧？解.,!limZnnnnn求,11321!0nnnnnnnnnnn由于1.1,,3,2均小于nnnn,00lim,01limnnn而.0!limnnnn故例3.)321(lim1nnnn求132313)321(11nnnnnn,3132311nn而,33)321(311nnnn故,3)33(lim1nn又.3)321(lim,1nnnn得由夹逼定理夹逼定理例4解例5.221lim2nnnn求解,1时当n2212nn,121221212nnnnnnn故,121lim,21lim22enennnnn而.221lim22ennn故夹逼定理n21,121)1(221nnnn例6解.),,,,(,lim2121Zkaaaaaaknnknnn为正常数其中求},,,,max{21则有记naaaa,21nnnnnknnnnkakaaaaaa,1lim故由夹逼定理得而nnk}.,,,max{lim2121knnknnnaaaaaaa除最大的一个外,其余的均取为零.3.柯西收敛准则)}{(lim收敛即数列nnnxax.||,,,0,0nmxxNnmN时当满足此条件的数列,称为“柯西列”.柯西准则可写为:.}{}{为柯西列收敛数列nnxx.}131211{时发散的证明数列n证,131211nxn记nnnxxnn212111||2由于,212111nnnnn,,,210均有时当取何值则不论时故取NnN0221||nnxx由柯西收敛准则可知,该数列是发散的.例6柯西A.L.Cauchy(1789－1857)业绩永存的数学大师柯西1789年8月21日出生于巴黎。父亲是一位精通古典文学的律师，与当时法国的大数学家拉格朗日和拉普拉斯交往密切。少年时代柯西的数学才华就颇受这两位大数学的赞赏，并预言柯西日后必成大器。在拉格朗日的建议下，其父亲加强了对柯西文学素质的培养，使得后来柯西在诗歌方面也表现出很高的才华。1805－1810年，柯西考入巴黎理工学校，两年后以第一名的成绩被巴黎桥梁公路学院录取，毕业时获该校会考大奖。1810年成为工程师。1815年获科学院数学大奖，1816年3月被任命为巴黎科学院院士，同年9月，被任命为巴黎理工学校分析学和力学教授。由于身体欠佳，接受拉格朗日和拉普拉斯的劝告，放弃工程师工作，致力于纯数学研究。柯西在数学上的最大贡献是在微积分中引进了极限概念，并以极限为基础建立了逻辑清晰的分析体系。这是微积分发展史上的一个重大事件，也是柯西对人类科学发展所作的巨大贡献。1821年柯西提出了极限定义的ε方法，把极限过程用不等式刻划出来，后经维尔斯特拉斯改进为现在教科书上所说的极限定义或ε－δ定义。当今所有微积分教科书都还（至少在本质上）沿用柯西关于极限、连续、收敛等概念。柯西对定积分作了系统的开创性的工作。他把定积分定义为和的极限，并强调在作定积分运算前，应判断定积分的存在性。他首先利用中值定理证明了微积分基本定理。通过柯西以及后来维尔斯特拉斯的艰苦工作，使数学分析的基本概念得到严格化处理，从而结束了200年来微积分在思想上的混乱局面，并使微积分发展为现代数学最基础、最庞大的数学学科。数学分析严谨化的工作一开始就产生了很大的影响。在一次学术会议上柯西提出了级数收敛理论，会后，拉普拉斯急忙回家，关起门来，避不见人，直到将他所发表和未发表的与级数有关的论文和著作全部检查一遍，确认