直线与点及两直线的相对位置

若点在直线上,则点的投影必在直线的同面投影上。即具有从属性。若点在直线上，则点将线段的同面投影分割成与空间直线相同的比例。即具有定比性：AC/CB=ac/cb=a‘c’/c‘b’若点的投影有一个不在直线的同名投影上，则该点必不在此直线上。判别方法：ABVH3.2.点与直线的相对位置Cbcacbadd在不在C点直线AB上D点直线AB上D判断点K是否在线段AB上？ab●k因k不在ab上，故点K不在AB上。应用定比定理abkabk●●另一判断法是因ak:kb≠ak:kb故点K不在AB上。XOcabdb′a′c′d′3.3.1两直线平行投影特性：空间两直线平行，则其各同面投影必相互平行，反之亦然。3.3两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。abcdabcd判断图中两条直线是否平行。对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。结论：AB//CD①Xcbaddbacbdca对于投影面平行线，只有两个同面投影互相平行，空间直线不一定平行。若用两个投影判断，其中应包括反映实长的投影。结论:AB与CD不平行判断图中两条直线是否平行。②求出侧面投影如何判断HVXABCDabcdabcdabcdbacd3.3.2两直线相交判别方法：若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。kk交点是两直线的共有点kkK●●cabbacdkkd过C点作水平线CD与AB相交。先作正面投影12●●dbaabcdc1(2)3(4)3.3.3两直线交叉同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。●●1、2是Ｖ面的重影点，3、4是H面的重影点。34●●AB与CD两直线相交吗投影特性：结论：AB与CD两直线不相交3.当两直线中有一直线平行于某投影面时，如果夹角是直角，则它在该投影面上的投影仍然是直角。-----------------直角投影定理两直线的夹角，其投影有下列三种情况：1.当两直线都平行于某投影面时，其夹角在该投影面上的投影反映实形。2.当两直线都不平行于某投影面时，其夹角在该投影面上的投影一般不反映实形。3.4直角投影定理若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。设直角边BC//H面因BC⊥AB,同时BC⊥Bb所以BC⊥ABba平面结论:直线在H面上的投影互相垂直即∠abc为直角因此bc⊥ab故bc⊥ABba平面又因BC∥bcABCabcH证明：dabcabc●●d例4：过C点作直线与AB垂直相交。.AB为正平线,正面投影反映直角。2.求作AB、CD交叉线的公垂线。abcda'b'c'd's's空间分析：1）因为AB为正垂线，所以SN必为正平线。2）由于SN为正平线，根据直角投影定理则SNCD必有s'n'c'd'nVDCABSN投影n'正平线直角投影定理---(解题演示)直角投影定理---(解题演示)3.已知矩形ABCD的顶点C在直线EF上，试补全此矩形的投影。aebfa'b'f'c'd'e'cd分析：ABCDEF作图步骤：•过b'作直线与a'b'垂直，并交e'f'于c'；•用几何作图法作平行四边形，补全矩形ABCD的两面投影。投影特点：•AB为正平线，则a’b’⊥b’c’。•矩形对边平行，则投影仍然平行。•方法是：以线段在某一投影面上的投影长为一直角边，两端点与这个投影面的距离差为另一直角边形成的直角三角形。其斜边是线段的实长，斜边与投影长的夹角就是该直线与这个投影面的倾角。VX0ZYWb'a'b''a''baABαγβX0ZYWYHb'a'b''a''ba在正面投影上求线段实长与倾角β在水平投影上求线段实长与倾角α在侧面投影上求线段实长与倾角γ实长βγα实长实长ββγ3.5直角三角形法Bo直角三角形求线段实长及其与投影面的倾角中的三个三角形设所求线段为AB在三个直角三角形中，斜边为线段实长；一个直角边为某投影长，该投影与斜边的夹角为该直线与投影面的夹角；夹角所对的边为线段两端点相应的坐标差。αAB线段实长ΔZABab的长γAB线段实长ΔXABa''b''的长AB线段实长ΔYABa'b'的长例1已知线段的实长AB，求它的水平投影。aAB根据已知条件，要求得ab，其方法一是求得A、B两点的Y坐标差(ΔYAB)；方法二是求得ab的长。此题有两解(多解时一般只画一解）b'xa'obABb'xa'obABb'xa'oba'b'方法二已知线段的实长AB，求它的水平投影。aAB此题有两解b'xa'ob解法二方法三：求出ab的长ABb'xa'obABxa'bABBaΔZAB12以AB两点的Z坐标差为一直角边的直角三角形中，另一直角边为AB水平投影ab的长。即：12=abΔZAB例2已知直线AB的α=30°求作AB的正面投影。oxaba′b′30°1.分析要求得a′b′，其实就是求b′；要求得b′也就是想办法找到A、B两点的Z坐标差或者求出a′b′的长。B02.作图1）作ΔabB0,使∠α=30°∠A的对边为ΔZAB2）过a′作直线平行于Ox轴，与过b而垂直于ox轴的直线交于一点b03）以b0为圆心以ΔZAB为半径画圆弧，交bb0的延长线于点b′4）用直线连接a′b′即为所求。b0oxaa′b′kbcdd′c′6820k′例3已知CD∩AB=K，CD∥H，求CD的正面投影。求k′同前。由于CD∥H所以c′d′∥ox轴。直角投影定理---(解题演示)1.求A点到CD的真实距离。acdc'a'd'zC-zD作图步骤：1）过A作直线ASCD；（此时AS为一般位置直线）2）应用直角三角形法求AS的实长；s'sAS关键步骤分析:设A点到CD的距离为AS必有AS⊥CD∵CD为正平线∴a’s’⊥c’d’由此可求出AS的两面投影。