第6讲-动量定理-角动量定理

第6讲力与运动的关系动量定理（1）一、动量定理：vmtF（微元法）1、以速度大小为v1竖直向上抛出一小球，小球落回地面时的速度大小为v2，设小球在运动过程中受空气阻力大小与速度大小成正比fkv，求小球在空中运动的时间t=？（高度h=？）2、质量为m，长为L的均匀软铁链用细绳悬在天花板上，下端刚好接触地面．某时刻细绳突然断了，软铁链自由落下，求：（1）从悬绳断开到铁绳全部落至地面过程中地面对铁绳的平均弹力？（2）若地面改为电子秤托盘面，求秤的最大读数为铁链重力的几倍？（隔离分析微元或整体“导数”）（练习）一根均匀柔软绳长为L，质量为m，对折后两端固定在一个钉子上．其中一端突然从钉子上脱落，求下落端的端点离钉子的距离为x时，钉子对绳子另一端的作用力．（机械能不守恒）3、质量很大的平板沿水平方向以速度v0运动．一小球在高度为H处从静止自由下落，并与平板相碰，小球与平板间的摩擦系数为μ，小球反弹时相对地面的速度为v，与水平面的夹角为α，反弹后达到的最大高度仍为H，试讨论α与高度H的关系．（注：当“碰撞”作用时间极短时，可忽略有限大小力的冲量．）（ft与Nt关系怎样？）LAB二、动量守恒定律①系统在某一方向上所受合外力为零，则系统在这一方向上动量守恒.②当物体间内作用时间极短时，忽略有限大小外力的冲量，动量守恒.1、图为两弹性小球1和2，球1的质量为m1，初速为v10；球2的质量为m2，静止．两球相碰后，球l的速度方向与碰前速度方向垂直，球2的速度方向与球l的初速方向夹角θ，sin0.6．试求两球碰后的速度大小以及恢复系数、总机械能的损失？（斜碰，没有摩擦作用，211020vvevv仅在弹性作用方向体现）2、如图所示，光滑水平面上有一长为L的平板小车，其质量为M，车左端站着一个质量为m的人，车和人都处于静止状态，若人要从车的左端刚好跳到车的右端，至少要多大的速度（相对地面）？（设速度大小v、方向θ）（练习）如图所示,固定在小车上的弹簧发射器以及小车的质量为3m,发射筒与水平面成45°角,小车放在光滑水平面上,被发射的小球质量为m,现将弹簧压缩L后放入小球,从静止开始,将小球弹射出去.已知小球的射高为H,不计小球在发射筒内的重力势能变化.试求弹簧的劲度系数k.（小球相对地面的出射速度≠45°）3、如图所示，质量均为m的两质点A和B，由长为L的不可伸长的轻绳相连，B质点限制在水平面上的光滑直槽内，可沿槽中滑动，开始时A质点静止在光滑桌面上，B静止在直槽内，AB垂直于直槽且距离为L/2，如质点A以速度v0在桌面上平行于槽的方向运动，求证：当B质点开始运动时，它的速度大小为3v0/7；并求绳受到的冲量和槽的反作用力冲量？（寻找守恒量：A+B在水平方向、A在垂直绳子方向上动量守恒）思考题1、质量分别为m1、m2和m3的三个质点A、B、C位于光滑的水平面上，用已拉直的不可伸长的柔软的轻绳AB和BC连结，角ABC为-，为一锐角，如图所示，今有一冲量为I的冲击力沿BC方向作用于质点C，求质点A开始运动时的速度．思考题2、如图所示，三个质量都是m的刚性小球A、B、C位于光滑的水平桌面上（图中纸面），A、B之间，B、C之间分别用刚性轻杆相连，杆与A、B、C的各连接处皆为“铰链式”的（不能对小球产生垂直于杆方向的作用力）．已知杆AB与BC的夹角为-，/2．DE为固定在桌面上一块挡板，它与AB连线方向垂直．现令A、B、C一起以共同的速度v沿平行于AB连线方向向DE运动，已知在C与挡板碰撞过程中C与挡板之间无摩擦力作用，求碰撞时当C沿垂直于DE方向的速度由v变为零这一极短时间内挡板对C的冲量的大小．L/2BAv0三、质心参考系①质心：1122c12mxmxxmm→?cv→?ca②质心运动定理：cFMa合当=0F合时，系统的质心相对地面匀速或静止，速度212211mmvmvmvc（动量视角）．系统总动量P（地面系）＝质心动量（cPMvc）＋相对质心总动量（0P）（质心系）③Konig定理：KKcKEEE系统总动能（）质心动能相对质心动能（质）地面系心系（动能视角）．以二个质点为例，质量分别为m1和m2，相对于地面参考系的速度分别为1v和2v，质心C的速度为cv，二质点相对于质心的速度分别为1v和2v，于是2211,vvvvvvcc，质点系的动能2211221122KEmvmv，把1v和2v代入，且)(22112211vmvmvvvmvvmccc，括号中的求和表示质心对于自己的速度（或两物体相对质心的动量为零），必定为零．质点系的动能22222112212112211111()22222KcKcKEmvmvmmvmvmvEE，由此可见，质点系的总动能等于其质心的动能与质点相对于质心动能之和（Konig定理）,对于多个质点，这个关系也成立．注：对于两体系统，质点系的动能还可以用两物体的相对速度rv和质心的速度cv表示：根据动量守恒定律cvmmvmvm)(212211，和相对速度关系12vvvr可得1v和2v，代入质点系的动能2211221122KEmvmv得：2212121211()22()KcrmmEmmvvmm．1、如图所示，一长直光滑板AB放在平台上，OB伸出台面，在左侧的D点放一质量为m1的小铁块，它以初速度v向右运动．假设直板相对桌面不发生滑动，经时间T0后直板翻倒．现让直板恢复原状，并在直板O点放上另一质量为m2的小物体，同样让m1从D点开始以v的速度向右运动，并与m2发生正碰，那么从m1开始运动后经过多少时间直板翻倒?2、如图所示，质量为M，倾角为θ的光滑斜面，放置在光滑水平面上，另有一质量为m的小物块沿斜面下滑，斜面底边长为L．当物块从斜面顶端由静止开始下滑到底端时，求：（1）斜面具有多大的速度；（2）斜面沿水平面移动的距离．LθMm3、如图所示，质量分别为m1、和m2的两滑块A和B放置在光滑的水平地面上，A，B之间用一劲度系数为k的弹簧相连．开始时两滑块静止，弹簧为原长．一质量为m的子弹以速度v0沿弹簧长度方向射入滑块A，并不再出来．试求：（1）弹簧的最大压缩长度；（2）滑块B相对地面的最大速度和最小速度．4、如图所示，质量为m的长方形箱子放在光滑的水平地面上，箱内有一质量也为m的小滑块，滑块与箱底之间无摩擦．开始时箱子不动，滑块以速度v0从箱子的A壁向B壁处运动，然后又与B壁碰撞．假定滑块每碰撞一次，两者相对速度的大小变为该次碰撞前相对速度的e倍，e＝41/2．（1）要使“滑块+箱子”系统动能的总损耗不超过40%，滑块与箱壁最多可碰撞几次？（2）从滑块开始运动到刚完成上述次数的碰撞期间，箱子的平均速度是多少？5、如图所示，质量M=1Kg的箱子静止在光滑水平面上，箱底长L=1m，质量m=1Kg的小物体从箱子中央以v0=5m/s的速度开始向右运动，物体与箱底间的动摩擦因数=0.05，物体与箱壁发生完全弹性碰撞，问小物体可与箱壁发生多少次碰撞？当小物体在箱中刚达到相对静止时，箱子在水平面上的位移是多少？（练习）如图所示，在光滑水平面上静止放着一个质量为M的中空物体，其中间是一个半径为R的球形空间，内表面也是光滑的．另一个质量为m、半径为r的小球，从两球心等高的位置静止释放，试求：（1）小球到达最低点时，中空物体移动的距离；（2）小球到达最低点时，中空物体的速度．（3）判断：小球到右边的最大高度可不可以和初始位置等高？v0v0第6讲力矩与转动的关系角动量定理（2）一、质点的角动量定理①质点相对参考点的角动量：sinLmvr如图所示，质量为m的质点在xy平面内以速度v作匀速直线运动，求此质点相对于原点O的角动量L．②质点的角动量定理：21MtLL③质点角动量守恒定律：若作用于质点的合力对参考点O的合力矩M始终为零，则质点对该点的角动量保持不变，称为质点对参考点O的角动量守恒定律．在有心力场作用下运动的物体，因合力矩为零，故物体相对力心的角动量守恒．如果质点在有心力作用下运动，由于有心力对力心的力矩为零，因此质点对该力心的角动量就一定守恒．例如：行星在太阳引力下绕太阳的运动就是在有心力作用下的运动，日心即力心；地球卫星在地球引力作用下运动，地心即力心；电子在原子核静电力作用下运动，力心即原子核．在这些情况下，我们可得出结论：行星在绕太阳的运动中，对日心的角动量守恒（开普勒第二定律实际就是对有心力点的角动量守恒）；人造地球卫星绕地球运行时，对地心的角动量守恒；电子绕原子核运动时，电子对原子核的角动量守恒．1、在光滑水平桌面上有一小孔O，一细绳穿过小孔，其一端系一小球放在桌面上，另一端用手拉住．设开始时令小球以速率v1绕孔O作半径为r1的匀速率圆周运动，如图所示．现在向下缓慢拉绳，直到小球作半径为r2的圆周运动时停止．试求此时小球的速率v2以及在此过程中绳子拉力T所做的功？2、如图所示，质量为m的两小球系于轻弹簧的两端，并置于光滑的水平面上，当弹簧处于自然状态时，长为a，其弹性系数为k．今两球同时受冲力作用，各获得与连线垂直的等值反向的初速度，若在以后运动过程中弹簧的最大长度b＝2a，求两球的初速度v0？（练习）两个滑冰运动员，质量分别为MA=60Kg，MB=70Kg，它们的速率vA=5m/s，vB=10m/s，在相距1.3m的两平行线上相向而行，当两者最接近时，便拉起手来开始绕质心作圆周运动，并保持二人之间的距离1.3m不变．求：（1）二人拉手后，系统的角速度．（2）计算两个人拉手前后的动能是否相等，并说明理由．3、图中a为一固定放置的半径为R的均匀带电球体，O为其球心．己知取无限远处的电势为零时，球表面处的电势为U=1000V．在离球心O很远的O′点附近有一质子b，它以Ek＝2000eV的动能沿与OO平行的方向射向a．以l表示b与OO线之间的垂直距离，要使质子b能够与带电球体a的表面相碰，试求l的最大值．把质子换成电子，再求l的最大值．五、刚体的角动量定理：21MtLL（当M=0时，L=恒量．）例：如图所示，一根L=0.4m的均匀木棒，质量M=1.0Kg，可绕水平轴O点在竖直面内转动，开始时棒自然铅直悬垂．现有一质量m=8g的子弹以v=200m/s的速度从A点水平射入棒内，A点离O点的距离为3L/4，棒的转动惯量J=ML2/3．求：（1）棒开始转动时的角速度．（2）棒的最大偏角．（3）若子弹射入的方向与棒的夹角=30，棒开始转动时的角速度．（1）对O点角动量守恒：LLmJLmv434343，J=ML2/3.得棒开始转动时的角速度)16931(4322mLMLmvL=8.87rad/s.（2）子弹射入棒内后系统机械能守恒，设棒的最大偏角为，22)43(2121)cos1(43)cos1(2LmJLmgLMg073.0232123cos2LmgMgLJLmgMgL，得棒的最大偏角=9412.（3）当子弹射入的方向与棒的夹角=30时，对O点角动量守恒：LLmJLmv4343sin43，=4.43rad/s.OABdvAvB角动量练习1．已知地球的质量为m，太阳的质量为M，地球与日心的距离为R，万有引力常量为G，则地球绕太阳作圆周运动的轨道角动量为（）A.mGMRB.GMmRC.GMmRD.2GMmR2．如图所示，x轴沿水平方向，y轴竖直向下，在时刻将质量为m的质点由x=a处静止释放，让它自由下落，则在任意时刻t，质点所受相对原点o的力矩M=？该质点相对原点o的角动量L=？3．在光滑的水平面上，一根长L=2m的绳子，一端固定于O点，另一端系一质量为m=0.5Kg的物体，开始时，物体位于位置A，OA间距离d=0.5m,绳子处于松弛状态，现使物体以初速度vA=4m/s垂直于OA向右滑动，如图，设在以后的运动中物体