c++课件树和二叉树

第六章树和二叉树[说明：]树是一类重要的非线性数据结构，是以分支关系定义的层次结构§6.1树的定义定义定义：树(tree)是n(n=0)个结点的有限集T。在任意一棵非空树中：有且仅有一个特定的结点，称为树的根(root)当n1时，其余结点可分为m(m0)个互不相交的有限集T1,T2,……Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，称为根的子树(subtree)特点：非空树中至少有一个结点——根树中各子树是互不相交的集合A只有根结点的树ABCDEFGHIJKLM有子树的树根子树空树基本术语结点(node)——表示树中的元素，包括数据项及若干指向其子树的分支结点的度(degree)——结点拥有的子树数叶子(leaf)——度为0的结点。（或称为终端结点）孩子(child)——结点子树的根称为该结点的孩子双亲(parents)——孩子结点的上层结点叫该结点的~兄弟(sibling)——同一双亲的孩子树的度——一棵树中最大的结点度数结点的层次(level)——从根结点算起，根为第一层，它的孩子为第二层……深度(depth)——树中结点的最大层次数森林(forest)——m(m0)棵互不相交的树的集合ABCDEFGHIJKLM结点A的度：3结点B的度：2结点M的度：0叶子：K，L，F，G，M，I，J结点A的孩子：B，C，D结点B的孩子：E，F结点I的双亲：D结点L的双亲：E结点B，C，D为兄弟结点K，L为兄弟树的度：3结点A的层次：1结点M的层次：4树的深度：4结点F，G为堂兄弟结点A是结点F，G的祖先★树的表示bacghdefij1.树型表示2.凹入表表示abdeijfcgh3.嵌套集合表示4.嵌套括号表示ijdghfabcea(b(d,e(i,j),f),c(g,h))★树的存储结构※1.双亲表示法实现：结构数组存放树的结点，每个结点含两个域数据域：存放结点本身信息双亲域：指示本结点的双亲结点在数组中位置特点：找双亲容易，找孩子难typedefstructnode{datatypedata;intparent;}JD;JDt[M];abcdefhgiacdefghib012235551096012345789dataparent0号单元不用或存结点个数如何找孩子结点※2.孩子表示法多重链表法：每个结点有多个指针域，分别指向其子树的根结点同构：结点的指针个数相等，为树的度D结点不同构：结点指针个数不等，为该结点的度ddatachild1child2……….childDdatadegreechild1child2……….childd※2.孩子表示法孩子链表法：每个结点的孩子结点用单链表存储，再用含n个元素的结构数组指向每个孩子链表。孩子结点：typedefstructnode{intchild;//该结点在表头数组中下标structnode*next;//指向下一孩子结点}JD;表头结点：typedefstructtnode{datatypedata;//数据域structnode*fc;//指向第一个孩子结点}TD;TDt[M];//t[0]不用abcdefhgi6012345789acdefghibdatafc23^45^^978^6^^^^^如何找双亲结点childnext※3.带双亲的孩子链表612345789acdefghibdatafc23459786^^^^^^^^^012235551parentabcdefhgi※4.孩子兄弟表示法（二叉树表示法）实现：用二叉链表作树的存储结构，链表中每个结点的两个指针域分别指向其第一个孩子结点和下一个兄弟结点特点操作容易破坏了树的层次typedefstructnode{datatypedata;structnode*fch,*nsib;}JD;abcdefhgiabcdefghi^^^^^^^^^^§6.2二叉树定义定义：二叉树是n(n0)个结点的有限集，它或为空树(n=0)，或由一个根结点和两棵分别称为左子树和右子树的互不相交的二叉树构成特点每个结点至多有二棵子树(即不存在度大于2的结点)二叉树的子树有左、右之分，且其次序不能任意颠倒基本形态A只有根结点的二叉树空二叉树AB右子树为空AB左子树为空ABC左、右子树均非空二叉树性质性质1：)1(21iii个结点层上至多有在二叉树的第证明：用归纳法证明之i=1时，只有一个根结点，是对的假设对所有j(1ji)命题成立，即第j层上至多有个结点那么，第i-1层至多有个结点又二叉树每个结点的度至多为2第i层上最大结点数是第i-1层的2倍，即故命题得证12201i12j22i12222ii性质2：深度为k的二叉树至多有个结点(k1)12k证明：由性质1，可得深度为k的二叉树最大结点数是122)(111kkikiii层的最大结点数第性质3：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1证明：n1为二叉树T中度为1的结点数因为：二叉树中所有结点的度均小于或等于2所以：其结点总数n=n0+n1+n2又二叉树中，除根结点外，其余结点都只有一个分支进入设B为分支总数，则n=B+1又：这些分支是由度为1和度为2的结点射出，B=n1+2n2于是，n=B+1=n1+2n2+1=n0+n1+n2n0=n2+1几种特殊形式的二叉树满二叉树定义：~12个结点的二叉树称为且有一棵深度为kk特点：每一层上的结点数都是最大结点数完全二叉树定义：深度为k，有n个结点的二叉树当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时，称为~特点叶子结点只可能在层次最大的两层上出现对任一结点，若其右分支下子孙的最大层次为L，则其左分支下子孙的最大层次必为L或L+11231145891213671014151231145891267101234567123456性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号，则对任一结点i(1in)，有：(1)如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i1，则其双亲是i/2(2)如果2in，则结点i无左孩子；如果2in，则其左孩子是2i(3)如果2i+1n，则结点i无右孩子；如果2i+1n，则其右孩子是2i+1性质性质4：1log2nn深度为个结点的完全二叉树的具有从以上性质可以得到：（1）n个结点的二叉树最多有n层，最少有log2n+1层（完全二叉树达到最小值）（2）完全二叉树中度为1的结点最多1个（3）具有n个结点的完全二叉树编号最大的非叶结点是n/2，编号最小的叶结点是n/2＋1（4）完全二叉树中度为1的结点数为（n+1）mod2，度为0的结点数为┌n/2┐，度为2的结点数为┌n/2┐-1二叉树的存储结构※顺序存储结构实现：按满二叉树的结点层次编号，依次存放二叉树中的数据元素特点：结点间关系蕴含在其存储位置中浪费空间，适于存满二叉树和完全二叉树abcdefgabcde0000fg1234567891011※链式存储结构二叉链表typedefstructnode{datatypedata;structnode*lchild,*rchild;}JD;lchilddatarchildABCDEFG在n个结点的二叉链表中，有n+1个空指针域ABCDEFG^^^^^^^^空指针个数：2*n0+1*n1+0*n2=2n0+n1=n0+n1+n0=n0+n1+n2+1=n+1※三叉链表typedefstructnode{datatypedata;structnode*lchild,*rchild,*parent;}JD;lchilddataparentrchildABCDEFGABCDEFG^^^^^^^^^§6.3树与二叉树转换ACBED树ABCDE二叉树A^^BC^D^^E^A^^BC^D^^E^A^^BC^D^^E^对应将树转换成二叉树加线：在兄弟之间加一连线抹线：对每个结点，除了其左孩子外，去掉它与其余孩子之间的关系旋转：以树的根结点为轴心，将整树顺时针转45°ABCDEFGHIABCDEFGHIABCDEFGHIABCDEFGHIABCDEFGHI树转换成的二叉树其右子树一定为空将二叉树转换成树加线：若p结点是双亲结点的左孩子，则将p的右孩子，右孩子的右孩子，……沿分支找到的所有右孩子，都与p的双亲用线连起来抹线：抹掉原二叉树中双亲与右孩子之间的连线调整：将结点按层次排列，形成树结构ABCDEFGHIABCDEFGHIABCDEFGHIABCDEFGHIABCDEFGHI森林转换成二叉树将各棵树分别转换成二叉树将每棵树的根结点用线相连以第一棵树根结点为二叉树的根，再以根结点为轴心，顺时针旋转，构成二叉树型结构ABCDEFGHIJABCDEFGHIJABCDEFGHIJABCDEFGHIJ二叉树转换成森林抹线：将二叉树中根结点与其右孩子连线，及沿右分支搜索到的所有右孩子间连线全部抹掉，使之变成孤立的二叉树还原：将孤立的二叉树还原成树ABCDEFGHIJABCDEFGHIJABCDEFGHIJABCDEFGHIJ§6.4树和二叉树的遍历树的遍历遍历——按一定规律走遍树的各个顶点，且使每一顶点仅被访问一次，即找一个完整而有规律的走法，以得到树中所有结点的一个线性排列常用方法先根（序）遍历：先访问树的根结点，然后依次先根序遍历根的每棵子树后根（序）遍历：先依次后根序遍历每棵子树，然后访问根结点按层次遍历：先访问第一层上的结点，然后依次遍历第二层，……第n层的结点ABCDEFGHIJKLMNO先序遍历：后序遍历：层次遍历：ABEFIGCDHJKLNOMEIFGBCJKNOLMHDAABCDEFGHIJKLMNO二叉树的遍历方法先序遍历：先访问根结点,然后分别先序遍历左子树、右子树中序遍历：先中序遍历左子树，然后访问根结点，最后中序遍历右子树后序遍历：先后序遍历左、右子树，然后访问根结点按层次遍历：从上到下、从左到右访问各结点DLRLDR、LRD、DLRRDL、RLD、DRLADBCDLRADLRDLRBDCDLR先序遍历序列：ABDC先序遍历:ADBCLDRBLDRLDRADCLDR中序遍历序列：BDAC中序遍历:ADBCLRDLRDLRDADCLRD后序遍历序列：DBCA后序遍历:B-+/a*b-efcd先序遍历：中序遍历：后序遍历：层次遍历：-+a*b-cd/ef-+a*b-cd/ef-+a*b-cd/ef-+a*b-cd/ef算法递归算法voidpreorder(JD*bt){if(bt!=NULL){printf(%d\t,bt-data);preorder(bt-lchild);preorder(bt-rchild);}}主程序Pre(T)返回返回pre(TR);返回返回pre(TR);ACBDTBprintf(B);pre(TL);BTAprintf(A);pre(TL);ATDprintf(D);pre(TL);DTCprintf(C);pre(TL);C返回T左是空返回pre(TR);T左是空返回T右是空返回T左是空返回T右是空返回pre(TR);先序序列：ABDC非递归中序算法ABCDEFGpiP-A(1)ABCDEFGpiP-AP-B(2)ABCDEFGpiP-AP-BP-C(3)p=NULLABCDEFGiP-AP-B访问：C(4)pABCDEFGiP-A访问：CB(5)ABCDEFGiP-AP-D访问：CBp(6)ABCDEFGiP-AP-DP-E访问：CBp(7)ABCDEFGiP-AP-D访问：CBEp(8)ABCDEFGiP-AP-DP-G访问：CBEP=NULL(9)ABCDEFGiP-A访问：CBEGDp(11)ABCDEFGiP