微积分复习重点

第1页共6页第一章函数一、据定义用代入法求函数值：二、求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间表示）对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意义的自变量x的取值范围（集合）主要根据：①分式函数：分母≠0②偶次根式函数：被开方式≥0③对数函数式：真数式＞0④反正（余）弦函数式：自变量≤1在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成不等式组解之。补充：求y=xx212的定义域。（答案：212x）三、判断函数的奇偶性：第二章极限与连续求极限主要根据：1、常见的极限：2、利用连续函数：1sinlim0xxxexxx11lim)0(01limxx第2页共6页初等函数在其定义域上都连续。例：3、求极限的思路：可考虑以下9种可能：①00型不定式（用罗彼塔法则）②20C=0③0=0④01C=∞⑤21CC⑥1C=0⑦0=∞⑧2C=∞⑨型不定式（用罗彼塔法则）特别注意：对于f（x）、g（x）都是多项式的分式求极限时，解法见教材P70下总结的“规律”。以上解法都必须贯穿极限四则运算的法则！补充1：若1)1(sin221limbaxxxx，则a=－2，b=1.)()(0lim0xfxfxx11lim1xx1)()(limxgxfx)0(0)(11lim常数CCxfx)0(0)(22lim常数CCxgx第3页共6页补充2：21221211111limlimexxxxxxxxx补充3：21121121121121...513131121)12)(12(1...751531311limlimlimnnnnnnnn补充4：1lnlim1xxx111lim1xx（此题用了“罗彼塔法则”）第三章导数和微分一、根据导数定义验证函数可导性的问题：二、求给定函数的导数或微分：求导主要方法复习：1、求导的基本公式：教材P1232、求导的四则运算法则：教材P110—1113、复合函数求导法则（最重要的求导依据）4、隐函数求导法（包括对数函数求导法）6、求高阶导数（最高为二阶）型00第4页共6页7、求微分：dy=y/dx即可补充：设y=22)(1arctgxx，求dy.解：∵222212111221121xarctgxxxxarctgxxxy∴dy=)121(22xarctgxxxdxydx第四章中值定理，导数的应用一、关于罗尔定理及一些概念关系的识别问题：二、利用导数的几何意义，求曲线的切、法线方程：二、函数的单调性（增减性）及极值问题：第五章不定积分1、原函数：)()(xfxF则称F（x）为f（x）的一个原函数。2、不定积分：⑴概念：f（x）的所有的原函数称f（x）的不定积分。CxFdxxf)()(注意以下几个基本事实：)()(xfdxxfCxfdxxf)()(dxxfdxxfd)()(Cxfxdf)()(⑵性质：)0()()(adxxfadxxfa注意dxxgdxxfdxxgxf)()()()(第5页共6页⑶基本的积分公式：教材P206Ⅱ习题复习：一、关于积分的概念题：二、求不定积分或定积分：可供选用的方法有——⑴直接积分法：直接使用积分基本公式⑵换元积分法：包括第一类换元法（凑微分法）、第二类换元法⑶分部积分法关于“换元积分法”的补充题一：Cxxdxxdx12ln21)12(1212112关于“换元积分法”的补充题二：3xxdx解：设x－3=t2，即3x=t，则dx=2tdt.∴3xxdx=dtttt2)3(2=Ctt6121212=Ctt6323=Cxx36)3(323关于“换元积分法”的补充题三：8031xdx解：设x=t3，即t3x，则dx=3t2dt.当x=0时，t=0；第6页共6页当x=8时，t=2.所以8031xdx=021ln)1(21313)1(313202202ttdttttdtt=3ln3（此题为定积分的第二类换元积分法，注意“换元必换限”，即变量x换成变量t后，其上、下限也从0、8变为0、2）关于“分部积分法”的补充题一：Cexdxexexdedxxexxxxx)1(关于“分部积分法”的补充题二：Cxarctgxdxxxxarctgxarctgxdx221ln2111关于“分部积分法”的补充题三：exdxx1ln=121211ln21ln1ln21ln21221212212exexdxexxxdxexxxdxeee=)1(41)2121(211212122222eeeexe（此题为定积分的分部积分法）