微积分应用论文

上海大学2013～2014学年秋季学期课程论文课程名称：信息化时代的数学探索与发现课程编号：0100L602论文题目:论微积分在我们生活中的应用作者姓名:方舟学号:13121376成绩:论文评语:评阅人:评阅日期:注:后附课程论文的正文浅谈微积分在生活中的应用作者姓名:方舟学号:13121376摘要:主要关于微积分在几何，经济，物理以及我们生活方面的运用。关键词:微积分，几何，经济学，物理学，极限，求导，微分方程（3-5个数学名词）(5号宋体)正文（小4号宋体，段首空两格）前言作为一个刚刚上大学的新生，高等数学是大学学习中十分重要的一部分，但在学习的过程中，我不禁慢慢产生了一个问题，老师都说微积分就是高等数学的精髓，那么微积分的意义又是什么呢？它对人类的生活造成的影响又是什么呢？存在必合理，微积分的应用一定很广，带着这个思想，我查找了一点资料，我想从几何，经济，物理三个角度来阐述关于微积分在我们生活中的应用，下面可能有些我在网上查找的题目，基本上都是直接摘录的，在此特向老师说明。我了解到微积分是从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作者以及技术人员不可缺少的工具。如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。通过研究微积分能够在几何，物理，经济等方面的具体应用，得到微积分在现实生活中的重要意义，从而能够利用微积分这一数学工具科学地解决问题。希望通过本文的介绍能使人们意识到微积分与其他各学科的密切关系，让大家能意识到理论与实际结合的重要性。1．微积分在几何中的应用微积分在我看来在几何中主要是为了研究函数的图像，面积，体积，近似值等问题，对工程制图以及设计有不可替代的作用。很高兴我在网上找到了一些内容与现在我们学的定积分恰巧联系上了。顿觉微积分应用真的很广！1.1求平面图形的面积(1)求平面图形的面积由定积分的定义和几何意义可知，函数y=f(x)在区间[a,b]上的定积分等于由函数y=f(x)，x=a，x=b和轴所围成的图形的面积的代数和。由此可知通过求函数的定积分就可求出曲边梯形的面积。例如：求曲线2fx和直线x=l，x=2及x轴所围成的图形的面积。分析：由定积分的定义和几何意义可知，函数在区间上的定积分等于由曲线和直线，及轴所围成的图形的面积。所以该曲边梯形的面积为2233222112173333xfxdx(2)求旋转体的体积(I)由连续曲线y=f(x)与直线x=a、x=b(ab)及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积为2()()baVfxdx。(Ⅱ)由连续曲线y=g(y)与直线y=c、y=d(cd)及y轴围成的平面图形绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为2()()dcVgydy。(III)由连续曲线y=f(x)(()0fx)与直线x=a、x=b(0ab)及y轴围成的平面图形绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为2()()baVxfxdx。例如：求椭圆22221xyab所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转一周而成的旋转体的体积。分析：椭圆绕x轴旋转时，旋转体可以看作是上半椭圆22()byaxaxaa，与x轴所围成的图形绕轴旋转一周而成的，因此椭圆22221xyab所围成的图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积为222222222322()()14()33aayaaaabbvaxdxaxdxaabaxxaba椭圆绕y轴旋转时，旋转体可以看作是右半椭圆22,()axbybybb，与y轴所围成的图形绕y轴旋转一周而成的，因此椭圆22221xyab所围成的图形绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为222222222322()()14()33bbybbbbaavbydybydybbabyyabb(3)求平面曲线的弧长(I)、设曲线弧由参数方程(){()()xttyt给出其中''(),()tt在[,]上连续，则该曲线弧的长度为'2'2[()][()]()sttdx。(Ⅲ)设曲线弧的极坐标方程为()()rr，其中'()r在[,]上连续，则该曲线弧的长度为2'2()[()]()srrd。例如：求曲线21ln42xyx从x=l到x=e之间一段曲线的弧长。解：'122xyx，于是弧长微元为'21dsy，21111()()222xdxdxxdxxx。所以，所求弧长为：22111111()(ln)(1)2224eexsxdxxex。一、在几何中的应用(一)微分学在几何中的应用(1)求曲线切线的斜率由导数的几何意义可知，曲线y=(x)在点0x处的切线等于过该点切线的斜率。即'0()tanfxa，由此可以求出曲线的切线方程和法线方程。例如：求曲线2yx在点(1，1)处的切线方程和法线方程。分析：由导数的几何意义知，所求切线的斜率为：'1122xxkyx，所以，所求切线的方程为y-l=2(x一1)，化解得切线方程为2x-y-1=0。又因为法线的斜率为切线斜率的负倒数，所以，所求法线方程为11(1)2yx，化解得法线方程为2y+x-3=0。(2)求函数值增量的近似值由微分的定义可知，函数的微分是函数值增量的近似值，所以通过求函数的微分可求出函数值增量的近似值。例如：计算sin46o的近似值。分析：令f(x)=sin(x)，则f(x)=cosx，取0045x，001,(1)180x，则由微机分的定义可知000'022sin46sin(451)sin45(45)0.719418022180f2.微积分在经济学的应用在我所查找到的关于微积分在经济学领域的应用中，我发现高等数学在经济学中运用十分基础和广泛，是学好经济学剖析现实经济现象的基本工具。经济学与数学是密不可分息息相关的。高等数学方法在经济学中的运用增强了经济学的严密性和说理性，将经济问题转化为数学问题，用数学方法对经济学问题进行分析，将数学中的极限，导数、微分方程知识在经济中的运用。尤其我看到在经济管理中，由边际函数求总函数（即原函数），一般采用不定积分来解决，或求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。这个对一个企业的发展至关重要！1关于最值问题例设：生产x个产品的边际成本C=100+2x，其固定成本为C（0）=1000元，产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大？并求最大利润解:总成本函数为C(x)=∫x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x2+1000总收益函数为R(x)=500x总利润L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000，L’=400-2x，令L’=0，得x=200，因为L’’(200)0。所以，生产量为200单位时，利润最大。最大利润为L(200)=400×200-2002-1000=390009（元）在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。2关于增长率问题例：设变量y是时间t的函数y=f(t)，则比值为函数f(t)在时间区间上的相对改变量；如果f(t)可微，则定义极限为函数f(t)在时间点t的瞬时增长率。对指数函数而言，由于，因此，该函数在任何时间点t上都以常数比率r增长。这样，关系式（*）就不仅可作为复利公式，在经济学中还有广泛的应用。如企业的资金、投资、国民收入、人口、劳动力等这些变量都是时间t的函数，若这些变量在一个较长的时间内以常数比率增长，都可以用（*）式来描述。因此，指数函数中的“r”在经济学中就一般的解释为在任意时刻点t的增长率。如果当函数中的r取负值时，也认为是瞬时增长率，这是负增长，这时也称r为衰减率。贴现问题就是负增长。3.设函数y=f(x)在点x处可导，函数的相对改变量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y与自变量的相对改变量Δxx之比，当Δx→0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率，或称为弹性函数。记为EyEx•EyEx=limx→0yyxx=limx→0yx．xy=f’(x)xf(x)在点x=x0处，弹性函数值Ef(x0)Ex=f’(x0)xf(x0)称为f（x）在点x=x0处的弹性值，简称弹性。EExf(x0)%表示在点x=x0处，当x产生1%的改变时，f（x）近似地改变EExf(x0)%经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。对于需求函数Q=f（P）(或P=P（Q）)，由于价格上涨时，商品的需求函数Q=f(p)（或P=P(Q)）为单调减少函数，ΔP与ΔQ异号，所以特殊地定义，需求对价格的弹性函数为η(p)=-f’(p)pf(p)例设某商品的需求函数为Q=e-p5(1)需求弹性函数；(2)P=3,P=5,P=6时的需求弹性。解：(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5；(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2η(3)=0.61，说明当P=3时，价格上涨1%，需求只减少0.6%，需求变动的幅度小于价格变动的幅度。η(5)=1，说明当P=5时，价格上涨1%，需求也减少1%，价格与需求变动的幅度相同。除了上述三个例子之外，还有“规模报酬、货币乘数、马歇尔-勒那条件等无数的经济概念和原理是在充分运用导数、积分、全微分等各种微积分知识构建的。他们极大的丰富了经济学内涵，为政府的宏观调控提供了重要帮助3.微积分在物理的应用物理是我高中最喜欢的课程，在高中进行物理竞赛是学到了不少关于微积分的思想，比如在考虑物体的运动时，因为其速度在不断改变，很难求其在一点的速度，微积分中的微元的思想此刻闪现出它的光芒，把非匀速运动看成由一段一段匀速运动构成，再进行计算，省了很多的时间。物理现象及其规律的研究都是以最简单的现象和规律为基础的，例如质点运动学是从匀速、匀变速直线运动开始，带电体产生的电场是以点电荷为基础。实际中的复杂问题，则可以化整为零，把它分割成在小时间、小空间范围内的局部问题，只要局部范围被分割到无限小，小到这些局部问题可近似处理为简单的可研究的问题，把局部范围内的结果累加起来，就是问题的结果。微积分在物理学中的应用相当普遍，有许多重要的物理概念，物理定律就是直接以微积分的形式给出的，如速度dtrdv，加速度dtvda，转动惯量2rdmI，安培定律BlIdFd，电磁感应定律dtdN……例：用微积分的方法解决变力做功的问题变力作功的问题是热学和力学中的常见问题。例如，质点在恒力F的作用下，沿直线产生位移r过程中的功rFA。但对一般情况，质点沿曲线从a运动到b，且质点运动过程中，作用于质点上力的大小和方向都可能不断改变，要计算F力对质点所做的功，可将运动曲线分成许多微小的线段rd，计算出F在每一小段上所做的元功，再对整个轨道上所有元功求和。由于rd极小，所以每一小曲段都可看成直线段，而质点所受的力可视为恒力。这样质点所做的功为rdFdA变力所做的功就是全部元功的和，写成积分的形式就是：bardFA因此通过微积分的方法可以把物理问题中变化的量转化为不变的量，先求微元再求和的方法，从而求出变力在整个物理过程中做的总功，使看似复杂的问题简单化。小结数学学习是一种培养学生综合素质的有效手段,在教学实践中给学生树立建模的思想对学生的综合素质发展有很大的帮助,也有助于提高我们的学习积极性，因此，我们当代大学生学习高等数学的重要