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论数学中微积分的发展史538李维春1002507007一、微积分的内容和概念解析几何是代数与几何的产物，它讲变量引进了数学，使运动与变化的定量表述成为可能，从而为微积分搭建了舞台。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。极限和微积分的概念可以追溯到古代。到了十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，理论基础是不牢固的。直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。微积分学是微分学和积分学的总称。客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。微积分的基本内容研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法。这种方法叫做数学分析。本来从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分。微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律。二、微积分的萌芽微积分的思想萌芽。可以追溯到古代。历来面积和体积都是自古以来数学家感兴趣的课题。在古代希腊、中国和印度数学家们的著述中，不乏用无限小过程计算特殊形状的面积、体积和曲线长的例子。（1）中国数学家的极限，积分思想最早出现在公元前三百年左右，著名的我国古代哲学著作《庄子》一书的《天下篇》里就记载着庄子的朋友惠施的话:“……至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一。……飞鸟之景，未尝动也．镞失之疾，而有不行不止之时。”把这段话翻译成现代语言，意思是说:“至大是没有边界的，这叫做无穷大；至小是没有内部的，这叫做无穷小。飞鸟在任何一个确定的时刻，只能占据空间的一个特定位置。因此，在这一瞬间它就静止在这个位置上，无所谓运动。如果箭在一瞬间占有两个不同的位置，这只箭一定在运动着。如果在一段时间内飞箭占有同一位置，这时既不能说它是静止的，又不能说它在运动着。”由此可见，立论者当时对“无穷”已有了一定程度的认识。惠施的另一段话:“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，更清楚地表现了我们祖先朴素的极限思想。到了魏晋时期，我国数学家已经开始把极限概念用于近似计算。刘徽在约公元263年为《九章算术》所作的注释中，提出了“割圆术”，用于计算圆周率π。他从圆的内接正六边形开始，每次把边数加倍，屡次应用勾股定理，求出正12边形、正24边形，……的每边长．边数越多，多边形周长与圆周长越接近。刘徽指出:“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣。”意思是说：割得越细，正多边形周长与圆周长之差也就越小，最后与圆周重合，便没有误差了。应当指出，1700多年前的刘徽不可能对极限概念有完整的认识。他的话前一半是对的，后一半则不确切，因为永远没有“不可割”的时候，也永远不会“与圆周合体而无所失”。尽管如此，刘徽的这一创见，仍是我国古代数学的伟大成就之一。刘徽的割圆术，后来又被南北朝时期著名天文学与数学家祖冲之(429—500)所发展。祖冲之应用割圆术，算出3.1415926π3.1415927，使圆周率π精确到小数点后第六位。(2)外国数学家的极限、积分思想欧几里得（公元前330年~前275年）是古希腊数学家，以其所著名的《几何原本》闻名于世，其中对不可约量及面积与体积的研究，包含穷即竭法的萌芽。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲线的体积的问题中，就隐含了近代积分的思想。三、微积分的发展到了16世纪，有许多的科学问题需要解决，由于航海、机械制造、军事上的需要，运动的研究成了自然科学的中心议题，于是在数学中开始研究各种变化过程中的变量之间的依赖关系，变量的引进，形成了数学中转折点。微积分的酝酿，主要是在17世纪，生产的发展提出了许多科技上的要求，这些科学问题的解决，对数学提出了新的要求，也是促进微积分产生的因素。到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。四、微积分的建立17世纪上半叶在一系列前驱性的工作，沿着不同的方向向微积分的大门逼近。但所有的这些努力还不足以标志微积分作为一门独立科学的诞生。没有人能将这些联系作为一般规律明确的提出。因此需要有人站在更高的高度将以往个别的贡献好分散的努力综合为一套理论。英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑。牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一片说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。他以含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。五、微积分创立的历史意义微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。微积分的产生和发展被誉为“近代科技文明产生的关键事件之一”，它引入了若干极其成功的，对以后许多数学家的发展起了决定性作用的思想。恩格斯称之为“17世纪自然科学的三大发明之一”微积分的建立无论是数学还是对其他的科学以致于科技的发展都产生了巨大的影响，充分显示了数学对人的认识发展、改造世界的能力的巨大促进作用。其实一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。不幸的事，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展整整落后了一百年。应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。