微积分模型

微积分模型1.引言17世纪到19世纪是近代数学发展的重要时期,在这一时期数学最大和最有影响的发展莫过于微积分的产生和应用。微积分的内容包括极限、微分学、积分学及其应用,是一门研究变化、运动的学科。这门学科的创立不仅极大的推进了数学自身的发展,而且影响和推动了其它学科的发展,并进而对人类社会的生产时间产生影响。本文探讨了微积分在数学中的地位,同时揭示了其对于当代数学的发展以及其它自然、人文、社会科学发展的作用。2.微积分产生与发展2.1微积分的产生微积分思想的萌芽出现得比较早,中国战国时代的《庄子.天下》篇中的“一尺之棰,日取其半,万事不竭”,就蕴涵了无穷小的思想。古希腊数学家阿基米德在公元前三世纪运用杠杆原理推导出了球体的体积公式,就包含了定积分的基本原理。之后,到了17世纪,欧洲许多数学家也开始运用微积分的思想来求极大值与极小值,以及曲线的长度等等。帕斯卡在求曲边形面积时,用到“无穷小矩形”的思想,并把无穷小概念引入数学,为后来莱布尼兹的微积分的产生奠定了基础。2.2微积分的发展微积分的正式诞生是在17世纪的后半期,牛顿和莱布尼兹在求积问题与作切线问题之间的互逆关系的基础上创立了微积分的基本定理,并且对无穷小算法进行了归纳与总结,正式创立了微积分这一数学中的重要运算法则。之后,随着数学科学的发展,微积分得到了进一步的发展,其中欧拉对于微积分的贡献最大,他的《无穷小分析引论》、《微分学》、《积分学》三部著作对微积分的进一步丰富和发展起了重要的作用。之后,洛必达、达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯、勒让德、傅立叶等数学家也对微积分的发展作出了较大的贡献。由于这些人的努力,微分方程、级数论得以产生,微积分也正式成为了数学一个重要分支。3.微积分在近代数学中的地位3.1微积分是近代数学的重要组成内容微积分是近代数学的重要组成内容。微积分是微分学和积分学的总称,微分学包括极限理论、导数理论、微分理论等等,微分学还有一元微分、多元微分,并进一步发展出常微分方程、偏微分方程等等数学知识,微分学的核心思想就是以直代曲,即在微小的邻域内,可以用一段切线段来代替曲线以简化计算过程。积分学由定积分、不定积分理论组成,积分是微分的逆运算,定积分就是把图像无限细分,然后在进行累加,而不定积分是对已知的导数求其原函数,定积分和不定积分联系起来就是著名的牛顿——莱布尼兹公式,若那么(上限a下限b)=F(a)-F(b),牛顿——莱布尼兹公式也就是微积分的基本定理。3.2微积分是近代数学发展的基础著名的数学家、计算机的发明者冯.诺依曼曾说过:“微积分是近代数学中最伟大的成就,对它的重要性无论做怎样的估计都不会过分。”由此可见,微积分在近代数学发展中的作用。微积分是整个近代数学的基础,有了微积分,才有了真正意义上的近代数学。微积分是一种重要的数学思想,它反映了自然界、社会的运动变化的内在规律,它紧密的与物理学和力学联系在一起,它的产生可以说是数学发展的必然。正如恩格斯所说的:“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数,运动进入了数学,有了变数,辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产生,并且是由牛顿和莱布尼茨大体上完发的,但不是由他们发明的”。因此,微积分是近代数学发展的基础。