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1111-1-1-1-1质点作曲线运动,在时刻t质点的位矢为rrrr,速度为vvvv,速率为v,t至(t＋ΔΔΔΔt)时间内的位移为ΔΔΔΔrrrr,路程为ΔΔΔΔs,位矢大小的变化量为ΔΔΔΔr(或称ΔΔΔΔ｜rrrr｜),平均速度为v,平均速率为v．(1)根据上述情况,则必有()(A)｜ΔΔΔΔrrrr｜=ΔΔΔΔs=ΔΔΔΔr(B)｜ΔΔΔΔrrrr｜≠ΔΔΔΔs≠ΔΔΔΔr,当ΔΔΔΔt→0时有｜drrrr｜=ds≠dr(C)｜ΔΔΔΔrrrr｜≠ΔΔΔΔr≠ΔΔΔΔs,当ΔΔΔΔt→0时有｜drrrr｜=dr≠ds(D)｜ΔΔΔΔrrrr｜≠ΔΔΔΔs≠ΔΔΔΔr,当ΔΔΔΔt→0时有｜drrrr｜=dr=ds(2)根据上述情况,则必有()(A)｜v｜=v,｜v｜=v(B)｜v｜≠v,｜v｜≠v(C)｜v｜=v,｜v｜≠v(D)｜v｜≠v,｜v｜=v分析与解(1)质点在t至(t＋ΔΔΔΔt)时间内沿曲线从P点运动到P′点,各量关系如图所示,其中路程ΔΔΔΔs＝PP′,位移大小｜ΔΔΔΔrrrr｜＝PP′,而ΔΔΔΔr＝｜rrrr｜-｜rrrr｜表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注：在直线运动中有相等的可能)．但当ΔΔΔΔt→0时,点P′无限趋近P点,则有｜drrrr｜＝ds,但却不等于dr．故选(B)．(2)由于｜ΔΔΔΔrrrr｜≠ΔΔΔΔs,故tstΔΔΔΔ≠rrrr,即｜v｜≠v．但由于｜drrrr｜＝ds,故tstdddd=rrrr,即｜v｜＝v．由此可见,应选(C)．1111-2-2-2-2一运动质点在某瞬时位于位矢rrrr(x,y)的端点处,对其速度的大小有四种意见,即(1)trdd；(2)tddrrrr；(3)tsdd；(4)22dddd⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛tytx．下述判断正确的是()(A)只有(1)(2)正确(B)只有(2)正确(C)只有(2)(3)正确(D)只有(3)(4)正确分析与解trdd表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中叫径向速率．通常用符号vr表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量；tddrrrr表示速度矢量；在自然坐标系中速度大小可用公式tsdd=v计算,在直角坐标系中则可由公式22dddd⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=tytxv求解．故选(D)．1111-3-3-3-3质点作曲线运动,rrrr表示位置矢量,vvvv表示速度,a表示加速度,s表示路程,aｔ表示切向加速度．对下列表达式,即(1)dv/dt＝a；(2)dr/dt＝v；(3)ds/dt＝v；(4)dvvvv/dt｜＝aｔ．下述判断正确的是()(A)只有(1)、(4)是对的(B)只有(2)、(4)是对的(C)只有(2)是对的(D)只有(3)是对的分析与解tddv表示切向加速度aｔ,它表示速度大小随时间的变化率,是加速度矢量沿速度方向的一个分量,起改变速度大小的作用；trdd在极坐标系中表示径向速率vr(如题1-2所述)；tsdd在自然坐标系中表示质点的速率v；而tddv表示加速度的大小而不是切向加速度aｔ．因此只有(3)式表达是正确的．故选(D)．1111-4-4-4-4一个质点在做圆周运动时,则有()(A)切向加速度一定改变,法向加速度也改变(B)切向加速度可能不变,法向加速度一定改变(C)切向加速度可能不变,法向加速度不变(D)切向加速度一定改变,法向加速度不变分析与解加速度的切向分量aｔ起改变速度大小的作用,而法向分量an起改变速度方向的作用．质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的．至于aｔ是否改变,则要视质点的速率情况而定．质点作匀速率圆周运动时,aｔ恒为零；质点作匀变速率圆周运动时,aｔ为一不为零的恒量,当aｔ改变时,质点则作一般的变速率圆周运动．由此可见,应选(B)．*1*1*1*1-5-5-5-5如图所示,湖中有一小船,有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动．设该人以匀速率v0收绳,绳不伸长且湖水静止,小船的速率为v,则小船作()(A)匀加速运动,θcos0vv=(B)匀减速运动,θcos0vv=(C)变加速运动,θcos0vv=(D)变减速运动,θcos0vv=(E)匀速直线运动,0vv=分析与解本题关键是先求得小船速度表达式,进而判断运动性质．为此建立如图所示坐标系,设定滑轮距水面高度为h,t时刻定滑轮距小船的绳长为l,则小船的运动方程为22hlx−=,其中绳长l随时间t而变化．小船速度22ddddhltlltx−==v,式中tldd表示绳长l随时间的变化率,其大小即为v0,代入整理后为θlhlcos/0220vvv=−=,方向沿x轴负向．由速度表达式,可判断小船作变加速运动．故选(C)．讨论有人会将绳子速率v0按x、y两个方向分解,则小船速度θcos0vv=,这样做对吗？1111-6-6-6-6已知质点沿x轴作直线运动,其运动方程为32262ttx−+=,式中x的单位为m,t的单位为s．求：(1)质点在运动开始后4.0s内的位移的大小；(2)质点在该时间内所通过的路程；(3)t＝4s时质点的速度和加速度．分析位移和路程是两个完全不同的概念．只有当质点作直线运动且运动方向不改变时,位移的大小才会与路程相等．质点在t时间内的位移Δx的大小可直接由运动方程得到：0Δxxxt−=,而在求路程时,就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向,此时,位移的大小和路程就不同了．为此,需根据0dd=tx来确定其运动方向改变的时刻tp,求出0～tp和tp～t内的位移大小ΔΔΔΔx1、ΔΔΔΔx2,则t时间内的路程21xxs∆+∆=,如图所示,至于t＝4.0s时质点速度和加速度可用txdd和22ddtx两式计算．解(1)质点在4.0s内位移的大小m32Δ04−=−=xxx(2)由0dd=tx得知质点的换向时刻为s2=pt(t＝0不合题意)则m0.8Δ021=−=xxxm40Δ242−=−=xxx所以,质点在4.0s时间间隔内的路程为m48ΔΔ21=+=xxs(3)t＝4.0s时1s0.4sm48dd−=⋅−==ttxv2s0.422m.s36dd−=−==ttxa1111-7-7-7-7一质点沿x轴方向作直线运动,其速度与时间的关系如图(a)所示．设t＝0时,x＝0．试根据已知的v-t图,画出a-t图以及x-t图．分析根据加速度的定义可知,在直线运动中v-t曲线的斜率为加速度的大小(图中AB、CD段斜率为定值,即匀变速直线运动；而线段BC的斜率为0,加速度为零,即匀速直线运动)．加速度为恒量,在a-t图上是平行于t轴的直线,由v-t图中求出各段的斜率,即可作出a-t图线．又由速度的定义可知,x-t曲线的斜率为速度的大小．因此,匀速直线运动所对应的x-t图应是一直线,而匀变速直线运动所对应的x–t图为t的二次曲线．根据各段时间内的运动方程x＝x(t),求出不同时刻t的位置x,采用描数据点的方法,可作出x-t图．解将曲线分为AB、BC、CD三个过程,它们对应的加速度值分别为2sm20−⋅=−−=ABABABttavv(匀加速直线运动)0=BCa(匀速直线运动)2sm10−⋅−=−−=CDCDCDttavv(匀减速直线运动)根据上述结果即可作出质点的a-t图［图(B)］．在匀变速直线运动中,有2021ttxx++=v由此,可计算在0～2ｓ和4～6ｓ时间间隔内各时刻的位置分别为用描数据点的作图方法,由表中数据可作0～2ｓ和4～6ｓ时间内的x-t图．在2～4ｓ时间内,质点是作1sm20−⋅=v的匀速直线运动,其x-t图是斜率k＝20的一段直线［图(c)］．1111-8-8-8-8已知质点的运动方程为jjjjiiiirrrr)2(22tt−+=,式中r的单位为m,t的单位为ｓ．求：(1)质点的运动轨迹；(2)t＝0及t＝2ｓ时,质点的位矢；(3)由t＝0到t＝2ｓ内质点的位移ΔΔΔΔrrrr和径向增量ΔΔΔΔr；*(4)2ｓ内质点所走过的路程s．分析质点的轨迹方程为y＝f(x),可由运动方程的两个分量式x(t)和y(t)中消去t即可得到．对于rrrr、ΔΔΔΔrrrr、ΔΔΔΔr、ΔΔΔΔs来说,物理含义不同,可根据其定义计算．其中对s的求解用到积分方法,先在轨迹上任取一段微元ds,则22)d()d(dyxs+=,最后用∫=ssd积分求ｓ．解(1)由x(t)和y(t)中消去t后得质点轨迹方程为2412xy−=这是一个抛物线方程,轨迹如图(a)所示．(2)将t＝0ｓ和t＝2ｓ分别代入运动方程,可得相应位矢分别为jjjjrrrr20=,jjjjiiiirrrr242−=图(a)中的P、Q两点,即为t＝0ｓ和t＝2ｓ时质点所在位置．(3)由位移表达式,得jjjjiiiijjjjiiiirrrrrrrrrrrr24)()(Δ020212−=−+−=−=yyxx其中位移大小m66.5)(Δ)(ΔΔ22=+=yxrrrr而径向增量m47.2ΔΔ2020222202=+−+=−==yxyxrrrrrrrrrrrrr*(4)如图(B)所示,所求ΔΔΔΔs即为图中PQ段长度,先在其间任意处取AB微元ds,则22)d()d(dyxs+=,由轨道方程可得xxyd21d−=,代入ds,则2ｓ内路程为m91.5d4d402=+==∫∫xxssQP1111-9-9-9-9质点的运动方程为23010ttx+−=22015tty−=式中x,y的单位为m,t的单位为ｓ．试求：(1)初速度的大小和方向；(2)加速度的大小和方向．分析由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向．解(1)速度的分量式为ttxx6010dd+−==vttyy4015dd−==v当t＝0时,vox＝-10m·ｓ-1,voy＝15m·ｓ-1,则初速度大小为120200sm0.18−⋅=+=yxvvv设vo与x轴的夹角为α,则23tan00−==xyαvvα＝123°41′(2)加速度的分量式为2sm60dd−⋅==taxxv,2sm40dd−⋅−==tayyv则加速度的大小为222sm1.72−⋅=+=yxaaa设a与x轴的夹角为β,则32tan−==xyaaββ＝-33°41′(或326°19′)1111-10-10-10-10一升降机以加速度1.22m·ｓ-2上升,当上升速度为2.44m·ｓ-1时,有一螺丝自升降机的天花板上松脱,天花板与升降机的底面相距2.74m．计算：(1)螺丝从天花板落到底面所需要的时间；(2)螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离．分析在升降机与螺丝之间有相对运动的情况下,一种处理方法是取地面为参考系,分别讨论升降机竖直向上的匀加速度运动和初速不为零的螺丝的自由落体运动,列出这两种运动在同一坐标系中的运动方程y1＝y1(t)和y2＝y2(t),并考虑它们相遇,即位矢相同这一条件,问题即可解；另一种方法是取升降机(或螺丝)为参考系,这时,螺丝(或升降机)相对它作匀加速运动,但是,此加速度应该是相对加速度．升降机厢的高度就是螺丝(或升降机)运动的路程．解1(1)以地面为参考系,取如图所示的坐标系,升降机与螺丝的运动方程分别为20121atty+=v20221gtthy−+=v当螺丝落至底面时,有y1＝y2,即20202121gtthatt−+=+vvs705.02=+=aght(2)螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为m716.021202=+−=−=gttyhdv解2222(1)以升降机为参考系,此时,螺丝相对它的加速度大小a′＝g＋a,螺丝落至底面时,有2)(210tagh+−=s705.02=+=aght(2)由于升降机在t时间内上升的高度为2021atth+=′v则m716.0=′−=hhd1111-11-11-11-11一质点P沿半径R＝3.0m的圆周作匀速率运动,运动一周所需时间为20.0ｓ,设t＝0时,质点位于O点．按(a)图中所示Oxy坐标系,求(1)质点P在任意时