微积分竞赛试题答案

湖州师范学院高等数学（微积分）竞赛试题答案（数学专业）一、计算题（每小题15分，满分60分）1.计算：2220sin)(cos112lim2xexxxxx。解：),(082114422xxxx)(0811124422xxxx。又)(023)](01[)](0211[cos2222224xxxxxxexx，故2220sin)(cos112lim2xexxxxx121sin)(023)(081limsin1)(023)(081lim222244022222440xxxxxxxxxxxxxxx2．设2006)1(limnnnn，试求,的值。解：)1(nnn=)1(0))1(01(1)11(11nnnnnnnn，显然由条件知0，而,01,0,01,1,01,)1(0lim1nnnn因此有,01且20061，故20061,200620053.求积分02cos1sindxxxx解：02cos1sindxxxx=202cos1sindxxxx+22cos1sindxxxx令tx，有20202222cos1sin)()(cos1)sin()(cos1sindttttdttttdxxxx=202022cos1sincos1sindxxxxdxxx所以02cos1sindxxxx=4|)(coscos1sin220202xarctgdxxx4．计算二重积分Dyxdxdye},max(22，其中}10,10|),{(yxyxD。解：令22yx，得知直线y=x将D划分为两个区域：}1,10|),{(},0,10|),{(21yxxyxDxyxyxD。于是，原式=222122},max(},max(DyxDyxdxdyedxdye=2212DyDxdxdyedxdye=110100100102222edyyedxxedxedydyedxyxyyxx。二、（本题满分20分）设曲线)0,0(2xaaxy与21xy交于A点，过坐标原点O和A点的直线与曲线)0,0(2xaaxy围成一平面图形。问a为何值时，该图形绕x轴旋转一周所得旋转体积最大？最大体积是多少？解：当0x时，由221xyaxy解得.1,11aayax故直线OA的方程为.1aaxy旋转体的体积aaadxxaaxaV1102524222)1(152)1(27)1(15)4(2aaadadV令,0dadV并由0a得唯一的驻点a=4.。故a=4时旋转体的体积最大，且最大体积为187553251615225V三、（本题满分20分）计算曲线积分AMOxxdymyedxmyye)cos()sin(，其中AMO为由点A(a,0)至点O(0,0)的上半圆周axyx22。解：在Ox轴上连结O(0,0)与点A(a,0),这样，便构成了封闭的半圆形AmOA,且在线段OA上。0)cos()sin(OAxxdymyedxmyye从而AmOOAAmOAAmO另一方面，利用格林公式可得axyxAmOAxxmamdxdyAdymyedxmyye228)cos()sin(2于是8)cos()sin(2madymyedxmyyeAMOxx四、（本题满分20分）设函数)(xf在[0，1]上可导，且0)(2)1(210dxxxff，试证明存在)1,0(，使得)()('ff。证明：令)()(xxfxF，则有)()(2)()(2)1()1(,0)0(210210FfdxfdxxxffFF其中)21,0(，在]1,[上用罗尔定理知)1,(，使得0)('F，即0)()('ff，所以)()('ff。五、（本题满分15分）设函数)('xf在[a，b]上连续，且f(a)=0，试证明：babadxxfabdxxf2'22))((2)()(证明：因为2'22))(())()(()(xadttfafxfxf（柯西不等式）baxadttfaxaxdttf2'2'))(()()())((所以babababadxxfabdttfaxdxxf2'22'2))((2)())(()()(。六、（本题满分15分）判别级数pnn12|1sin|收敛的条件并证明，其中p0。解：因为1sin2n=)1sin()1(1sincos)1(22nnnnnnnnn1sin)1(2所以ppnnn|1sin||1sin|22，因为1)1()1(sinlim22ppnnnnn，所以pnn12|1sin|的敛散性与12|1|npnn的敛散性相同，即与11npn的敛散性一致。所以当1p时收敛，当1p时发散。