微积分试卷内含答案

11-12微积分A卷湖北汽车工业学院微积分(一)(下)考试卷（2011-2012-2）一、（本题满分21分，每小题3分）填空题：1．]sin[20xtdt2sin2xx．2．过点)3,2,1(且与平面0144zyx平行的平面方程为044zyx.3．设yxz，则dzxdyxdxyxyyln1.4．DdxdyyxI)432(，其中D}4),{(22yxyx，则I16.5．微分方程)1)(1(22yxy的通解为Cxy2)1(arcsin.6．平面曲线2xy与xy所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体体积为15/2.7．设数项级数1nnu收敛且和为s，则级数11)(nnnuu的和为12us．二、（本题满分21分，每小题3分）选择填空题（请将所选答案填入题号前的方括号内）：【B】1.设)(xf在),(内连续,)(xF是)(xf在),(内的一个原函数，0c，则dxcxfba)(等于)(A)()(caFcbF.)(B)()(caFcbF.)(C)()(cbFcaF.)(D)()(cbFcaF.【C】2．设)2,1,3(a，)1,2,1(b，则ba等于)(A3.)(B7.)(C)7,1,5(.)(D)7,1,5(.【A】3．下列级数中条件收敛的是)(A111)1(nnn.)(B1211)1(nnn.)(C11)107()1(nnn.)(D151)1(nnn.【A】4.下列微分方程中是齐次方程的是)(Adxyxydxxdy22.)(Bxyyxysin2.)(Cyyxylnsin.)(Dxxyysectan．【D】5.设)(xf在]1,0[上连续且满足1)()(10dttfxxf，则10)(dxxf等于)(A1.)(B2.)(C1.)(D2．【C】6.设xyyxD0,41:22，则二重积分dxyDarctan)(A2163.)(B2323.)(C2643.)(D21283．【C】7.函数xxf/1)(的在1x点处的幂级数展开式为)(A0)1()1()(nnnxxf＝,11x．)(B0)1()(nnxxf＝,20x．)(C0)1()1()(nnnxxf＝，20x．)(D1)1()1()(nnnxxf＝，20x．三、计算下列各题（共3284分）1．设函数),(yxzz由方程zyxzyx222确定，证明：yxyzxzxzzy)()(．[证]方程zyxzyx222两边对x求导得xzxzzx122，解得zxxz2112，由字符轮换性知zyyz2112，于是yxzyxzzxzyyzxzxzzy2112)(2112)()()(.2．计算dxxx11241．[解]原式dxxx102412.dtttttx204coscossin2sindtt204sin2832214323．判别正项级数nxnnn21sin2的敛散性．[解]nnnnnxnu2sin22，设nnnv2，121221limlim11nnvvnnnnnn，于是级数12nnn收敛.从而原级数12sin2nnnxn收敛.4．某工厂生产甲种产品x件乙种产品y件的总利润函数为22222040),(yxyxyxyxL设备的最大产出力为15yx，求x与y为何值时利润最大？解：作)15(222040),(22yxyxyxyxyxF…令015),,(02220),,(02440),,(yxyxFyxyxFyxyxFxx得10x，5y．于是当这两种产品分别生产10件与5件的时候利润最大．四．（8分）交换二次积分101yxydxedyI的次序并计算．【解】dxedxIxxy2010dxxexyyxy1002|10.21)(dxxxex五、（8分）求微分方程2212)1(xxxyyx的通解.解：方程变形为：2221)1(12xxxxxyy通解为：])([)()(CdxexQeydxxpdxxp]1)1([12221222Cdxexxxedxxxdxxx]1)1([1)1(221)1(2222Cdxexxxexxdxxd]1[11]1)1([22)1ln(22)1ln(22CdxxxxCdxexxxexx11]12)1([1122222xxCCxxdx法二：221])1[(xxyx通解为Cxyx221)1(六、（10分）求幂级数nnxn)11(1的收敛域与和函数，并求级数nnnn211的和．解：收敛域为)1,1()(1)1-(1)(1111xSxxnxxxnxSnnnnnnnxxSnn11)(，xxnxxSnnnn11)()(1111)1ln()(1xxS，于是)1ln(1)(xxxxS．2ln1)21(S，2ln1)21(211Snnnn．2013-2014-2A卷湖北汽车工业学院微积分A2考试试卷（2013~2014~2A卷）一、（本题满分21分，每小题3分）单项选择题（请将所选答案填入答题卡的指定位置）：【B】1.设)4,1,1(a，),0,2(b，且ba，则)(A2．)(B21．)(C2．)(D21．【B】2．极限22101limyxxyyx)(A0．)(B1．)(C1．)(D21．【C】3．设xyxdxedttfyxF1102)(),(,则xF为)(A)(xyf．)(B22)(xxexyyf．)(C)(xyyf．)(D22)(xxexyf．【D】4．二次积分dyyxfdxxx2010),(=)(Adfd1020)sin,cos(．)(Bdfdcos020)sin,cos(．)(Cdfd1020)sin,cos(．)(Ddfdcos020)sin,cos(．【B】5．已知2)(,3)2(20dxxff，则20)(dxxfx=)(A10．)(B4．)(C6．)(D1．【C】6．若级数)0(1nnnuu收敛，则级数11nnu)(A绝对收敛．)(B条件收敛．)(C发散．)(D无法确定．【D】7．函数xxf31)(，则)(xf的麦克劳林展开式为：)(A03)(nnnxxf，(1x)．)(B13)(nnnxxf，(3x)．)(C013)(nnnxxf，(1x)．)(D013)(nnnxxf，(3x)．二、（本题满分21分，每小题3分）填空题：1．过点)3,2,1(M且与平面05532zyx平行的平面方程为11532zyx．或0)3(5)2(3)1(2zyx2．设}42),{(22yxyxD，则Ddxdy=2．3．交换二重积分2010),(xdyyxfdxI的次序，则I=110),(ydxyxfdy．4．141dxx=3/1．5．已知yxez2，则dz=)2(2dydxeyx．6．223)sin1(dxx4．7．微分方程yxdxdy232的通解是Cxy32．三、（本题满分8分）设函数),(yxzz由方程0exyzz所确定，求xz与yz．[解]令xyzzyxFze),,(，则yzFx，xzFy，xyFzze．从而有xyyzFFxzzzxe，xyxzFFyzzzye．四、（本题满分8分）曲线2xy与直线0,3yx围成一个平面图形，①求此平面图形的面积；②求图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积．[解]90331)1(3302xdxxA）（2dxxdV22)(，于是524351035304xdxxV．五、(本题满分8分)判定级数13)1(nnnn是否收敛，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛．[解]令nnnnnnu33)1(，由于131331limlim11nnnnnnnnuu，所以正项级数13nnn收敛，从而13)1(nnnn绝对收敛．六、（本题满分8分）求微分方程xxxyysin满足初始条件0xy的特解．[解]此方程为一阶线性微分方程，其中xxP1)(，xxxQsin)(其通解为])([)()(CdxexQexdxxPdxxP]sin[11Cdxexxedxxdxx)sin(1Cxdxxxx)sin(1Cxdxx)cos(1Cxx由初值条件0xy可得1C，故特解为)1(cos1)1cos(1xxxxy．七、（本题满分8分）计算二重积分Dydxdye，其中D为直线xyyx,,所围的区域．[解]（X型）1102xyDydyedxdxdye101101)()(dxeedyexxy110121eeex．（Y型）yyDydxdyedxdye0102)(100110dyeyedyyeyyy101121)(eeey．八、（本题满分8分）求函数324),(223yxyxxyxf的极值．［解］令,022,02832yxfyxxfyx得唯一)2,2(,)0,0(，又86xfxx，2xyf，2yyf，于是在点)0,0(处，2,2,8CBA，则0122)2)(8(22BAC且08A，所以函数),(yxf在)0,0(处有极大值3)0,0(f．在点)2,2(处，2,2,4CBA，则0122)2(422BAC，所以)2,2(不是函数),(yxf的极值点．九、（本题满分10分）求级数11)1(nnnnx的收敛域与和函数．[解]易求得1R，且当1x时级数111)1(nnn收敛，当1x时级数11nn发散.因此11)1(nnnnx的收敛域是]1,1(.在区间)1,1(内，设)(xS11)1(nnnnx，则xxxnxnxxSnnnnnnnnnnn11)()1()()1()1()(111111111所以)1ln(11)(0xdxxxSx，11x.2014-2015-2A卷湖北汽车工业学院微积分考试试卷（2014—2015—2）一、（本题满分21分，每小题3分）单项选择题（请将所选答案填入题号前的方括号内）：[A]1．xdttxf0cos)(，则)0(f（A）1．（B）0．（C）1．（D）2π．[D]2．设yxz2，则22xz（A）xy2．（B）x．（C）x2．（D）y2．[B]3．已知平面区域D为222yx，则Ddyxσ)2(2（A）π．（B）π4．（C）π3．（D）0．[C]4．由曲线xey与直线1x及直线2x所围图形的面积为（A）e．（B）1e．（C）ee2．（D）2e