微积分试卷及答案4套

第1页共14页答案参见我的新浪博客：微积分试题(A卷)一.填空题(每空2分,共20分)1.已知,)(lim1Axfx则对于0，总存在δ0，使得当时，恒有│ƒ(x)─A│ε。2.已知2235lim2nbnann，则a=，b=。3.若当0xx时，与是等价无穷小量，则0limxx。4.若f(x)在点x=a处连续，则)(limxfax。5.)ln(arcsin)(xxf的连续区间是。6.设函数y=ƒ(x)在x0点可导，则hxfhxfh)()3(lim000______________。7.曲线y=x2＋2x－5上点M处的切线斜率为6，则点M的坐标为。8.))((dxxfxd。9.设总收益函数和总成本函数分别为2224QQR，52QC，则当利润最大时产量Q是。二.单项选择题(每小题2分,共18分)1.若数列{xn}在a的邻域（a-,a+）内有无穷多个点，则（）。(A)数列{xn}必有极限，但不一定等于a(B)数列{xn}极限存在，且一定等于a(C)数列{xn}的极限不一定存在(D)数列{xn}的极限一定不存在2.设11)(xarctgxf则1x为函数)(xf的（）。(A)可去间断点(B)跳跃间断点(C)无穷型间断点第2页共14页答案参见我的新浪博客：(D)连续点3.13)11(limxxx（）。(A)1(B)∞(C)2e(D)3e4.对需求函数5peQ，需求价格弹性5pEd。当价格p（）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。(A)3(B)5(C)6(D)105.假设)(),(0)(lim,0)(lim00xgxfxgxfxxxx；在点0x的某邻域内(0x可以除外)存在，又a是常数，则下列结论正确的是（）。(A)若axgxfxx)()(lim0或，则axgxfxx)()(lim0或(B)若axgxfxx)()(lim0或，则axgxfxx)()(lim0或(C)若)()(lim0xgxfxx不存在，则)()(lim0xgxfxx不存在(D)以上都不对6.曲线223)(abxaxxxf的拐点个数是（）。(A)0(B)1(C)2(D)37.曲线2)2(14xxy（）。(A)只有水平渐近线；(B)只有垂直渐近线；(C)没有渐近线；(D)既有水平渐近线，又有垂直渐近线8.假设)(xf连续，其导函数图形如右图所示，则)(xf具有()(A)两个极大值一个极小值(B)两个极小值一个极大值(C)两个极大值两个极小值(D)三个极大值一个极小值9.若ƒ(x)的导函数是2x，则ƒ(x)有一个原函数为()。xyo第3页共14页答案参见我的新浪博客：(A)xln；(B)xln；(C)1x；(D)3x三．计算题(共36分)1．求极限xxxx11lim0（6分）2．求极限xxx1)(lnlim（6分）3．设0001sin2sin)(xxxbxxaxxxf，求ba,的值，使)(xf在(-∞，+∞)上连续。(6分)4．设1xyeyx，求y及0xy（6分）5．求不定积分dxxex2（6分）6．求不定积分.42dxx（6分）四．利用导数知识列表分析函数211xy的几何性质，求渐近线，并作图。(14分)五．设)(xf在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且1)21(,0)1()0(fff，试证：(1)至少存在一点)1,21(，使)(f；(2)至少存在一点),0(，使1)(f；(3)对任意实数，必存在),0(0x，使得1])([)(000xxfxf。(12分)第4页共14页答案参见我的新浪博客：微积分试卷(B)一.填空题(每空2分,共20分)1.数列}{nx有界是数列}{nx收敛的条件。2.若2sinxy，则dy。3.函数0,tanxxxy是第类间断点，且为间断点。4.若31lim1xbaxx，则a=，b=。5.在积分曲线族xdx2中，过点（0，1）的曲线方程是。6.函数xxf)(在区间]1,1[上罗尔定理不成立的原因是。7.已知xtdtexF0)(，则)(xF。8.某商品的需求函数为212PQ，则当p=6时的需求价格弹性为EPEQ。二.单项选择题(每小题2分,共12分)1.若3lim0xx，则0limxx（）。(A)–2(B)0(C)31(D)322.在1x处连续但不可导的函数是（）。(A)11xy(B)1xy(C))1ln(2xy(D)2)1(xy3.在区间（-1，1）内，关于函数21)(xxf不正确．．．的叙述为（）。(A)连续第5页共14页答案参见我的新浪博客：(B)有界(C)有最大值，且有最小值(D)有最大值，但无最小值4.当0x时，x2sin是关于x的（）。(A)同阶无穷小(B)低阶无穷小(C)高阶无穷小(D)等价无穷小5.曲线35xxy在区间（）内是凹弧。(A))0,((B)),0((C)),((D)以上都不对6.函数xe与ex满足关系式（）。(A)exex(B)exex(C)exex(D)exex三．计算题(每小题7分,共42分)7．求极限xexxxcos1)1(lim0。8．求极限nnnx2sin2lim（x为不等于0的常数）。9．求极限xxxx21lim。10．已知yxey1，求0xy及0xy。11．求不定积分dxxxsin。12．求不定积分dxxx)1ln(。第6页共14页答案参见我的新浪博客：四．已知函数21xxy，填表并描绘函数图形。(14分)定义域yy单调增区间单调减区间极值点极值凹区间凸区间拐点渐近线图形：五．证明题(每小题6分,共12分)1.设偶函数)(xf具有连续的二阶导函数，且0)(xf。证明：0x为)(xf的极值点。2.就k的不同取值情况，确定方程kxxsin2在开区间（0,2）内根的个数，并证明你的结论。第7页共14页答案参见我的新浪博客：《微积分》试卷（C卷）一、单项选择题（每小题3分，共18分）1.设函数2;1;1xxfxaxbx在1x处可导，则（）A.0,1abB.2,1abC.3,2abD.1,2ab2.已知fx在0x的某邻域内连续，且000,lim21cosxfxfx，则在0x处fx满足（）A.不可导B.可导C.取极大值D.取极小值3.若广义积分2lnkdxxx收敛，则（）A.1kB.1kC.1kD.1k4.)(lim111xxeA．0B.C.不存在D.以上都不对5.当0x时，xcos1是关于2x的（）.A．同阶无穷小.B．低阶无穷小.C．高阶无穷小.D．等价无穷小.6.函数)(xf具有下列特征：0)0(,1)0(ff，当0x时，0,00,0)(,0)(xxxfxf则)(xf的图形为（）。(A)(B)(C)(D)二、填空（每小题3分，共18分）xyo1xyo1xyo1xyo1第8页共14页答案参见我的新浪博客：。2.1211xdx。3.已知0()fx存在，则000()()limhfxhfxhh。4．设ln(1)yx，那么()()nyx。5．220txdedtdx。6．某商品的需求函数275QP，则在P＝4时，需求价格弹性为4P，收入对价格的弹性是4PEREP。三、计算（前四小题每题5分，后四小题每题6共44分）1．02arctan1limxxtdtx2．xxxx21lim3．1lnexxdx4．6(1)dxxx5．求由00cos0yxtedttdt所决定的隐函数xyy的导数.dxdy6．已知sinxx是()fx的原函数，求()xfxdx。7．求由曲线3yx与1,0xy所围成的平面图形绕x轴旋转形成的旋转体的体积。第9页共14页答案参见我的新浪博客：．求曲线2yx与直线1ykx所围平面图形的面积，问k为何时，该面积最小？四、(A类12分)列表分析函数xxy12函数的单调区间、凹凸区间等几何性质，并作出函数图形。解：(1)函数的定义域D:),1()1,(，无对称性；(2)0,2,0)1(22122xxxxxy得3422)1(21)1)(2(2)1)(22(xxxxxxxy(3)列表：(4)垂直渐近线：1x；斜渐近线：1xy(5)绘图，描几个点)34,2(),21,1(),0,0(),4,2(x(-∞，-2)-2（-2，-1）（-1，0）0(0,+∞)y'＋0－－0＋y－－－＋＋＋y↗,∩极大值-4↘,∩↘,∪极小值0↗,∪xyo第10页共14页答案参见我的新浪博客：(B类12分)列表分析函数)1ln(2xy函数的单调区间、凹凸区间等几何性质，并作出函数图形。解：⑴函数定义域D:(-∞，+∞)，偶函数关于Y轴对称；⑵0,0122xxxy得1,1,0)1()1)(1(2122)1(22122222xxxxxxxxxy得⑶列表：(只讨论（0,+∞）部分)极小值f(0)=0；拐点（1,ln2）⑷该函数无渐近线；⑸绘图，描几个点：（0，0），（-1，ln2），（1，ln2）五、（B类8分）设fx连续，证明：000xuxftdtduxufudu证明：令dttfxFxu00)()(duufuxxGx)()()(0只需证明)()(xGxF（3分）dttfxFx0)()(duuufduufxxGxx00)()()(duufxxfxxfduufxGxx00)()()()()(所以)()(xGxF（8分）（A类8分）设)(xf在[a,b]上连续在(a,b)内可导且0)(xf),(,)(1)(baxdttfaxxFxa试证（1）)(xF在(a,b)内单调递减x0(0,1)1(1,+∞)y'0＋＋＋y＋＋0－y极小值↗,∪拐点↗,∩xyo第11页共14页答案参见我的新浪博客：(2))()()()(0bfafxfxF证（1）axf(ξf(x)a)(xa)(x