高中数学不等式经典例题

典型例题一例1解不等式2321xx分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念)0()0(aaaaa，将不等式中的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解．去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论．解：令01x，∴1x，令032x，∴23x，如图所示．[来源:Z。xx。k.Com]（1）当1x时原不等式化为2)32()1(xx∴2x与条件矛盾，无解．（2）当231x时，原不等式化为2)32(1xx．∴0x，故230x．（3）当23x时，原不等式化为2321xx．∴6x，故623x．综上，原不等式的解为60xx．说明：要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏．典型例题二例2求使不等式axx34有解的a的取值范围．分析：此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便．解法一：将数轴分为),4(],4,3[,3,三个区间当3x时，原不等式变为27,)3()4(axaxx有解的条件为327a，即1a；当43x时，得axx)3()4(，即1a；当4x时，得axx)3()4(，即27ax，有解的条件为427a∴1a．以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为1a．解法二：设数x，3，4在数轴上对应的点分别为P，A，B，如图，由绝对值的几何定义，原不等式aPBPA的意义是P到A、B的距离之和小于a．因为1AB，故数轴上任一点到A、B距离之和大于（等于1），即134xx，故当1a时，axx34有解．典型例题三例3已知),0(,20,2MyabyMax，求证abxy．分析：根据条件凑byax,．证明：abyayaxyabxyaaMMbyaaxybyaaxy22)()(．说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法．典型例题四例4求证baaba22分析：使用分析法证明∵0a，∴只需证明baaba222，两边同除2b，即只需证明[来源:Z§xx§k.Com]bababba22222，即bababa22)(1)(当1ba时，babababa222)(1)(1)(；当1ba时，0ba，原不等式显然成立．∴原不等式成立．说明：在绝对值不等式的证明，常用分析法．本例也可以一开始就用定理：babaabaaba2222（1）如果1ba，则0ba，原不等式显然成立．（2）如果1ab，则bab，利用不等式的传递性知aba，bab，∴原不等式也成立．[来源:学#科#网]典型例题五例5求证bbaababa111．分析：本题的证法很多，下面给出一种证法：比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同，使我们联想利用构造函数的方法，再用单调性去证明．证明：设xxxxxxf1111111)(．定义域为｛Rxx，且1x｝，)(xf分别在区间)1,(，区间),1(上是增函数．[来源:Z&xx&k.Com]又baba0，∴)()(bafbaf即babababa11bbaababbaa1111∴原不等式成立．说明：在利用放缩法时常常会产生如下错误：∵baba，01ba，∴babbaababababa1111bbaa11．错误在不能保证aba11，bba11．绝对值不等式baba在运用放缩法证明不等式时有非常重要的作用，其形式转化比较灵活．放缩要适度，要根据题目的要求，及时调整放缩的形式结构．典型例题六例6关于实数x的不等式2)1(2)1(22aax与0)13(2)1(32axax)(Ra的解集依次为A与B，求使BA的a的取值范围．分析：分别求出集合A、B，然后再分类讨论．解：解不等式2)1(2)1(22aax，2)1(2)1(2)1(222aaxa，∴RaaxaxA,122．解不等式0)13(2)1(32axax，0)2)](13([xax．当31a时（即213a时），得31,132aaxxB．当31a时（即213a时），得31,213axaxB．当31a时，要满足BA，必须,131,222aaa故31a；当31a时，要满足BA，必须;12,1322aaa,11,1aa∴1a．所以a的取值范围是311aaRa或．说明：在求满足条件BA的a时，要注意关于a的不等式组中有没有等号，否则会导致误解．典型例题七例6已知数列通项公式nnnaaaaa2sin23sin22sin2sin32对于正整数m、n，当nm时，求证：nnmaa21．分析：已知数列的通项公式是数列的前n项和，它的任意两项差还是某个数列的和，再利用不等式nnaaaaaa2121，问题便可解决．证明：∵nm∴mnnnmmaananaa2sin2)2sin(2)1sin(21mnnmaanan2sin2)2sin(2)1sin(21211)211(21212121121nmnmnn)12110(21)211(21nmnnmn．说明：mnn21212121是以121n为首项，以21为公比，共有nm项的等比数列的和，误认为共有1nm项是常见错误．正余弦函数的值域，即1sin，1cos，是解本题的关键．本题把不等式、三角函数、数列、n个变量的绝对值不等式问题连在一起，是一个较为典型的综合题目．如果将本题中的正弦改为余弦，不等式同样成立．典型例题八例8已知13)(2xxxf，1ax，求证：)1(2)()(aafxf分析：本题中给定函数)(xf和条件1ax，注意到要证的式子右边不含x，因此对条件1ax的使用可有几种选择：(1)直接用；(2)打开绝对值用11axa，替出x；(3)用绝对值的性质11axaxax进行替换．证明：∵13)(2xxxf，∴13)(2aaaf，∵1ax，∴1axax．∴1ax，∴xaaxafxf22)()()())((axaxax)1)((axax1axax)1(21111aaaaxax，即)1(2)()(aafxf．说明：这是绝对值和函数的综合题，这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识的运用．分析中对条件1ax使用时出现的三种可能是经常碰到的，要结合求证，灵活选用．典型例题九例9不等式组xxxxx22330的解集是（）．A．20xxB．5.20xxC．60xxD．30xx分析：本题是考查含有绝对值不等式的解法，由xxxx2233，知033xx，∴33x，又0x，∴30x，解原不等式组实为解不等式xxxx2233（30x）．解法一：不等式两边平方得：2222)2()3()2()3(xxxx．∴2222)6()6(xxxx，即0)66)(66(2222xxxxxxxx，∴0)6(2xx，又30x．∴30062xx∴60x．选C．解法二：∵0x，∴可分成两种情况讨论：(1)当20x时，不等式组化为xxxx2233（20x）．解得20x．(2)当2x时，不等式组可化为xxxx2233（2x），解得62x．综合(1)、(2)得，原不等式组的解为60x，选C．说明：本题是在0x的条件下，解一个含绝对值的分式不等式，如何去绝对值是本题的关键所在，必须注意，只有在保证两边均为非负数时，才能将不等式两边同时平方．另一种方法则是分区间讨论，从而去掉绝对值符号．当然本题还可用特殊值排除法求解．典型例题十例10设二次函数cbxaxxf2)((0a，且0b)，已知ab，1)0(f，1)1(f，1)1(f，当1x时，证明45)(xf．分析：从0a知，二次函数的图像是开口向上的抛物线；从1x且1)1(f，1)1(f知，要求证的是45)(xf，所以抛物线的顶点一定在x轴下方，取绝对值后，图像翻到x轴上方．因此抛物线的顶点的取值非常重要，也是解这道题的关键所在．证明：∵)()(2cbacbabcbacba11)1()1(ff2，∴1b．又∵ab，∴1ab．∴1212ab．[来源:Z+xx+k.Com]又1)0(fc，abcabacabf444)2(22，∴abcabcabf44)2(22451141141babc．而)(xf的图像为开口向上的抛物线，且1x，11x，∴)(xf的最大值应在1x，1x或abx2处取得．∵1)1(f，1)1(f，45)2(abf，∴45)(xf．说明：本题考查了绝对值不等式的性质、二次函数的最值及分类讨论的思想和逻辑思维的能力，关键是通过对参数a，b，c的分析，确定抛物线顶点的取值范围，然后通过比较求出函数在1x范围内的最大值．