2004年高考.全国卷Ⅲ.理科数学试题及答案(内蒙、海南、西藏、陕西、广西等地区)

12004年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农林医类)（旧教材·全国卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至1页，第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。2．每小题选出答案后，用铅笔在答题卡上对应题目的答案涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：三角函数的和差化积公式)]sin()[sin(21cossin)]sin()[sin(21sincos)]cos()[cos(21coscos)]cos()[cos(21sinsin一、选择题1．设集合RyRxyxyxM,,1,22，RyRxyxyxN,,0,2，则集合NM中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．42．函数2sinxy的最小正周期是（）A．2B．C．2D．43．设数列na是等差数列，且6,682aa，nS是数列na的前n项和，则（）正棱台、圆台的侧面积公式lccS)(21台侧其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长台体的体积公式334RV球其中R表示球的半径2A．54SSB．54SSC．56SSD．56SS4．圆0422xyx在点)3,1(P处的切线方程为（）A．023yxB．043yxC．043yxD．023yx5．函数)1(log221xy的定义域为（）A．2,11,2B．)2,1()1,2(C．2,11,2D．)2,1()1,2(6．设复数z的辐角的主值为32，虚部为3，则2z=（）A．i322B．i232C．i32D．i2327．设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为xy21，则该双曲线的离心率e（）A．5B．5C．25D．458．不等式311x的解集为（）A．2,0B．)4,2(0,2C．0,4D．)2,0(2,49．正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为（）A．322B．2C．32D．32410．在△ABC中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC上的高为（）A．223B．233C．23D．3311．设函数1,141,)1()(2xxxxxf，则使得1)(xf的自变量x的取值范围为（）A．10,02,B．1,02,C．10,12,D．10,1]0,2[312．将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名，则不同的分配方案共有（）A．12种B．24种C．36种D．48种第Ⅱ卷二、填空题（每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）13．用平面截半径为R的球，如果球心到平面的距离为2R，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为.14．函数xxycos3sin在区间2,0上的最小值为.15．已知函数)(xfy是奇函数，当0x时，13)(xxf，设)(xf的反函数是)(xgy，则)8(g.16．设P是曲线)1(42xy上的一个动点，则点P到点)1,0(的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为.三、解答题（6道题，共76分）17．（本小题满分12分）已知为锐角，且21tan，求2cos2sinsincos2sin的值.18．（本小题满分12分）解方程11214xx.19．（本小题满分12分）某村计划建造一个室内面积为8002m的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少？20．（本小题满分12分）三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3，（1）求证：AB⊥BC；（2）设AB=BC=32，求AC与平面PBC所成角的大小.21．（本小题满分12分）设椭圆1122ymx的两个焦点是)0,(1cF与)0(),0,(2ccF，PAC4且椭圆上存在一点P，使得直线1PF与2PF垂直.（1）求实数m的取值范围；（2）设L是相应于焦点2F的准线，直线2PF与L相交于点Q，若3222PFQF，求直线2PF的方程.22．（本小题满分14分）已知数列na的前n项和nS满足1,)1(2naSnnn.（1）写出数列na的前三项321,,aaa；（2）求数列na的通项公式；（3）证明：对任意的整数4m，有8711154maaa.52004年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工类）参考答案（广西卷）1.B2.C3.B4.D5.A6.A7.C8.D9.C10.B11.A12.C13．16314．115．－216．517．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等基础知识以及三角恒等变形的能力.满分12分.解：原式,2coscossin22cossin因为,02cos,0sin,21tan时所以cos21原式.因为为锐角，由,52cos21tan得所以原式.4518．本小题主要考查解带绝对值的方程以及指数和对数的概念与运算.满分12分.解：当0,021xx即时，原方程化为,11124xx,441)212(2x解得.241212x,0241212x无解.由,01241212xx知舍去.当0,021xx即时，原方程化为,11124xx,449)212(2x解得,27212x,027212x无解.,27212x.3log.03log22xx故原方程的解为19．本小题主要考查把实际问题抽象为数学问题，应用不等式等基础知识和方法解决问题的能力.满分12分.解：设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab=800.蔬菜的种植面积).2(2808824)2)(4(baababbaS所以).(648248082mabS当).(648,)(20),(40,22mSmbmaba最大值时即答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大6种植面积为648m2.20．本小题主要考查两个平面垂直的性质、直线与平面所成角等有关知识，以及逻辑思维能力和空间想象能力.满分12分.（Ⅰ）证明：如图1，取AC中点D，连结PD、BD.因为PA=PC，所以PD⊥AC，又已知面PAC⊥面ABC，所以PD⊥面ABC，D为垂足.因为PA=PB=PC，所以DA=DB=DC，可知AC为△ABC的外接圆直径，因此AB⊥BC.（Ⅱ）解：如图2，作CF⊥PB于F，连结AF、DF.因为△PBC≌△PBA，所以AF⊥PB，AF=CF.因此，PB⊥平面AFC，所以面AFC⊥面PBC，交线是CF，因此直线AC在平面PBC内的射影为直线CF，∠ACF为AC与平面PBC所成的角.在Rt△ABC中，AB=BC=23，所以BD=.6在Rt△PDC中，DC=.3,6PD在Rt△PDB中，.2363PBDBPDDF在Rt△FDC中，,3362tanDCDFACF所以∠ACF=30°.即AC与平面PBC所成角为30°.21．本小题主要考查直线和椭圆的基本知识，以及综合分析和解题能力.满分12分.解：（Ⅰ）由题设有.,0mcm设点P的坐标为),,(00yx由PF1⊥PF2，得,10000cxycxy化简得.2020myx①将①与112020ymx联立，解得.1,120220mymmx由.1,01,0220mmmxm得所以m的取值范围是1m.（Ⅱ）准线L的方程为.1mmx设点Q的坐标为),(11yx，则.11mmx.1||||00122xmmmmxccxPFQF②7将mmx120代入②，化简得.111||||2222mmmmPFQF由题设32||||22PFQF，得3212mm，无解.将mmx120代入②，化简得.111||||2222mmmmPFQF由题设32||||22PFQF，得3212mm.解得m=2.从而2,22,2300cyx，得到PF2的方程).2)(23(xy22．本小题主要考查数列的通项公式，等比数列的前n项和以及不等式的证明.考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.（Ⅰ）解：由.1,121111aaSa得由.0,)1(2222221aaSaa得由.2,)1(23333321aaSaaa得（Ⅱ）解：当2n时，有,)1(2)(211nnnnnnaaSSa,)1(2211nnnaa,)1(22221nnnaa…….2212aa所以122111)1(2)1(2)1(22nnnnnaa].)1(2[323])2(1[2)1(2)]2()2()2[()1(21211211nnnnnnnnn经验证a1也满足上式，所以.1],)1(2[3212nannn（Ⅲ）证明：由通项公式得.24a当3n且n为奇数时，]121121[2311121nnnnaa8).2121(232222312222223123221213221nnnnnnnnnn当mm且4为偶数时，maaa11154)212121(2321)11()11(14431654mmmaaaaa.878321)211(4123214m当mm且4为奇数时，.87111111115454mmmaaaaaaa所以对任意整数m4，有.8711154maaa