微积分在物理学中的应用

1微积分在物理学中的应用Theapplicationofcalculusinphysics摘要:关于“微积分”是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支，它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论，它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论，使运算也更加简便。“应用数学处理物理问题的能力”是我们必须掌握的一种解决物理问题的方法，“能够根据具体问题找出物理量之间的数学关系，根据数学的特点、规律，进行推导、求解，并根据结果做出物理判断、进行物理解释，得出物理结论”是物理解题中运用的数学方法，微积分就是其中一种。关键词:微积分Keywords:calculus基金项目：本文为大学生科研项目批准文号xs11035资助项目作者简介：姓名：李东康（出生年月198211），女，吉林省；单位全称：通化师范学院物理学院，职称：助教；研究方向：光学；刘明娟，通化师范学院物理学院本科学生；1、微积分1.1定义：设函数xF在ba,上有界，在ba,中任意插入若干个分点a=0X1X...1XnXn=b把区间ba,分成n个小区间nnxxxx,,110。在每个小区间iixx,1上任取一点iiixx1，作函数值if与小区间长度的乘积xiif，并做出如果不论对ba,怎样分法，也不论在小区间上的点i怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数xf在区间ba,上的定积分。设函数xfy在某区间内有定义，0x及xx0在此区间内。如果函数的2增量00xfxfxy可表示为xxyA（其中A是不依赖于x的常数），而x是比x高阶的无穷小，那么称函数xf在点0x是可微的，xA称作函数在点0x相应于自变量增量x的微分，记作yd，即xyAd。设函数xfy在某区间内有定义，0x及xx0在此区间内。通常把自变量x的增量x称为自变量的微分，记作xd，即xxd。于是函数xfy的微分又可记作dxdfdy。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。1.2几何意义：设x是曲线xfy上的点M在横坐标上的增量，y是曲线在点M对应x在纵坐标上的增量，yd是曲线在点M的切线对应x在纵坐标上的增量x很小时，yyd比x要小得多(高阶无穷小)，因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。1.3定积分和不定积分：定积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，定积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数，这一族函数的导函数恰为前一函数。其中：xfcxf一个实变函数在区间ba,上的定积分，是一个实数。它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值。定积分和不定积分的定义迥然不同，定积分是求图形的面积，即是求微元元素的累加和，而不定积分则是求其原函数，它们又为何通称为积分呢？这要靠牛顿和莱布尼茨的贡献了，把本来毫不相关的两个事物紧密的联系起来了。2．微积分在物理学中的应用:微积分作为数学的一门分支学科，在物理学中有着非常重要的应用价值。尤其是在大学物理中，微积分作为一种分析连续过程累积的方法已经成为解决问题的基本方法，本文主要介绍了微积分在物理学中的一些应用。3微积分在大学物理中的应用有很多，它能使复杂的问题简单化。例如质点运动学，功，粒子运动如速度，加速度，转动惯量，安培定律，电磁感应定律等。在应用微积分方法解物理问题时，微元的选取非常关键，选的恰当有利于问题的分析和计算，其一要保证在所选取的微元内能近似处理成简单基本的物理模型，以便于分析物理问题；其二要尽量把微分元选取的大，这样可使积分运算更加简单，因为微分和积分互为逆运算，微分微的越细，越精确，但积分越繁琐，计算工作量较大，所以还要在微分和积分这对矛盾之间协调处理。微元的选取不唯一，在每一种微元里近似的物理模型是不同的，重积分远比一元积分麻烦，所以在分析物理问题时，应充分利用对称性，选取适当的一元微元，使积分运算简单；不管选取怎样的微元，结果是相同的，都是问题的精确解。由此看出，用微积分解题的神奇之处，由于微元无限趋近于零，使得有限范围内的近似到无限小范围内的精确，从而完成了问题的精确求解。2.1力学力学是研究物质机械运动规律的科学，自然界物质有多种层次，从宇观的宇宙体系、宏观的天体和常宇宙体系，细观的颗粒、纤维、晶体，到微观的分子、原子、基本粒子。通常理解的力学以研究天然的或人工的宏观对象为主。但由于学科的互相渗透，有时也涉及宇观或细观甚至微观各层次中的对象以及有关的规律。又称经典力学，是研究通常尺寸的物体在受力下的形变，以及速度远低于光速的运动过程的一门自然科学。力学是物理学、天文学和许多工程学的基础，机械、建筑、航天器和船舰等的合理设计都必须以经典力学为基本依据。力是物质间的一种相互作用，机械运动状态的变化是由这种相互作用引起的。静止和运动状态不变，则意味着各作用力在某种意义上的平衡。因此，力学可以说是力和(机械)运动的科学。理论力学是研究物体的机械运动规律及其应用的科学，理论力学是力学的学科基础。它可分为静力学、运动学和动力学三部分：①静力学：研究物体在平衡状态下的受力规律；②运动学：研究物体机械运动的描述，如速度、切向加速度、法向加速度等等，但不涉及受力；③动力学：讨论质点或者质点系受力和运动状态的变化之间的关系。16世纪到17世纪间，理论力学开始发展为一门独立的、系统的学科。伽利略通过对抛体和落体的研究，提出惯性定律并用以解释地面上4的物体和天体的运动。17世纪末牛顿提出力学运动的三条基本定律，使经典力学形成系统的理论。根据牛顿三定律和万有引力定律成功地解释了地球上的落体运动规律和行星的运动轨道，此后两个世纪中在很多科学家的研究与推广下，终于成为一门具有完善理论的经典力学。微积分在力学中应用的实例：例1.如图1所示，计算半径为R，质量为M，密度均匀圆盘绕过圆心且与盘面垂直的转轴的转动惯量.我们用微分的方法来求解:如图1所示，把圆盘分成许多无限薄的圆环，圆盘的密度为，圆盘的厚度为h，则半径为r，宽为dr的薄圆环的质量为：rhdrdm2（1—1）薄圆环对轴的转动惯量为:drhrdmrdI322（1—2）然后沿半径积分得:403032122hRdrhdrhrIRR（1—3）其中2Rh为圆盘体积，2hR为圆盘质量M，故圆盘转动惯量为221MRI例2.计算半径为R，质量为M的均匀球体绕任意直径转动的转动惯量.解：如图2所示,任选一体积元dxdydzdV，则该体积元可近似为一质点，它到z轴的距离为r，绕z轴的转动惯量为:dxdydzyxdVrdmrdI)(2222（2—1）所有微分元对z轴的转动惯量dI的和即积分值:RmMRrrd图1zrRxy图25dxxydydzdxdydzyxIyzRyzRzRzRRR2222222222)()(2222252MR（2—2）各质元质量与其到转动轴线垂直距离平方乘积之和，叫做刚体对称轴z的转动惯量，用zL来表示，即2iizRML它决定于刚体本身的质量分布以及转动zL轴线的位置。刚体的转动惯量应用实例：例如在汽车中，左边转动惯性大者称飞轮，与发动机相连，右边轮则与传动装置和驱动轮相连，待飞轮获得转速后，再与右方相连，利用飞轮大的惯性带动传动装置和驱动轮运动起来。由此可以看出转动惯量的重要性。刚体转动惯量在刚体力学中有着广泛的应用，若物体的密度均匀形状规则，转动惯量可以分为圆柱体对柱体轴线的，细圆环对任意切线，实球体对任意直径的等。例1和例2都应用到了微积分解决问题即求刚体的转动惯量的典型例题，（1—1）（2—1）是对质量的微分，（1—2）是对薄圆环的转动惯量的微分，（1—3）（2—2）是对转动惯量的积分，用微积分去解决就比较容易，把各个复杂的轨迹分成尽量小的几个部分，例如轨迹可以把它分割成无限个小的可以看成直线的一段，算出一段的距离，然后在积在一起，这样就比较简单，使问题更加的容易理解和算出。2.2电磁学电磁学是研究电、磁和电磁的相互作用现象，及其规律和应用的物理学分支学科。根据近代物理学的观点，磁的现象是由运动电荷所产生的，因而在电学的范围内必然不同程度地包含磁学的内容。所以，电磁学和电学的内容很难截然划分，而“电学”有时也就作为“电磁学”的简称.早期，由于磁现象曾被认为是与电现象独立无关的，同时也由于磁学本身的发展和应用，如近代磁性材料和磁学技术的发展，新的磁效应和磁现象的发现和应用等等，使得磁学的内容不断扩大，所以磁学在实际上也就作为一门和电学相平行的学科来研究了。电磁学从原来互相独立的两门科学(电学、磁学)发展成为物理学中一个完整的分支学科，主要是基于两个重要的实验发现，即电流的磁效应和变化的磁场的6电效应。这两个实验现象，加上麦克斯韦关于变化电场产生磁场的假设，奠定了电磁学的整个理论体系，发展了对现代文明起重大影响的电工和电子技术。麦克斯韦电磁理论的重大意义，不仅在于这个理论支配着一切宏观电磁现象(包括静电、稳恒磁场、电磁感应、电路、电磁波等等)，而且在于它将光学现象统一在这个理论框架之内，深刻地影响着人们认识物质世界的思想。电子的发现，使电磁学和原子与物质结构的理论结合了起来，洛伦兹的电子论把物质的宏观电磁性质归结为原子中电子的效应，统一地解释了电、磁、光现象。和电磁学密切相关的是经典电动力学，两者在内容上并没有原则的区别。一般说来，电磁学偏重于电磁现象的实验研究，从广泛的电磁现象研究中归纳出电磁学的基本规律；经典电动力学则偏重于理论方面，它以麦克斯韦方程组和洛伦兹力为基础，研究电磁场分布，电磁波的激发、辐射和传播，以及带电粒子与电磁场的相互作用等电磁问题，也可以说，广义的电磁学包含了经典电动力学。微积分在电磁学中的应用实例：例3.同轴电缆的内导体是半径为1R的金属圆柱，外道体是内外半径分别为2R和3R的金属圆桶，两导体相对磁导率为1r，两者之间充满相对磁导率为2r的不导电的均匀介质。电缆工作时，两导体的电流均为I（方向相反），电流在每个导体的横截面均匀分布。求各区的B。解：根据有介质时的安培环路定理IIdH分别在区内求解IRrrHldH2122rRIH212(3—1)rRIHBrr211012环路定理得：区域，由有介质的安培在21RrRIrHldH2(3—2)rH217rIHBr2200环路定理得：区域，由有介质的安培在32RrRIRRrRIRRRrrHldH2223223222322212IRRrrRH22232232(3—3)IRRrrRBr2223223102在rR3区域，由有介质的安培环路定理得：02rHldHH=0B=0(3—4)这是一个计算磁感应强度的典型例题，在空间的传导电流分布及磁介质性质已知时，运用了安培环路定理，在恒定磁场理论原则上应能求的中安培环路定理是非常重要的一个定理，它说明了磁场不是势场，不是势场的矢量场称为涡旋场。所以磁场B是涡旋场。在静磁学中，当电荷分布有适当对称性时单从安培环路定理就可求得恒定磁场。它对任意恒定磁场中的任意闭曲线都是成立的.当空间的传导电流分布及磁介质的性质已知时，原则上应能求得空间各点的磁感应强度B。但是比较困难，运算的方式比较复杂。题中的电流分布电流在每个导体的横截面均匀分布。满足条件，如题中的（1—1）等，先把闭合曲线运